procesos aleatorios

Procesos Aleatorios (P.A.)
Promedio en tiempo.
Es la medida estad´
ıstica en un tiempo determinado de una funci´n muestral.
o
Promedio Conjunto.
Es el promedio estad´
ıstico de las medidas estad´
ısticas de todas las funciones
muestra en un tiempo determinado.
Proceso Aleatorio Estacionario.
Un proceso es estacionario, cuando las caracter´
ısticas estad´
ısticas de las
funcionesmuestra no varian con respecto al tiempo.
• Proceso Aleatorio Estacionario en Sentido Estricto (SSS)
Un proceso aleatorio es estacionario en sentido estricto si su estad´
ıstica es
invariante ante un corrimiento temporal.
fx (x1 , . . . xn , t1 . . . , tn ) = fx (x1 , . . . xn , t1 + c . . . , tn + c)
Lo que indica que su densidad de probabilidad conjunta es independiente
del tiempo y solodepende de τ = t2 − t1
• Proceso Aleatorio Estacionario en Sentido Amplio (WSS)
Un P.A. es estacionario en sentido amplio si su valor promedio (esperanza,
media) es constante y su autocorrelaci´n solo depende de la diferencia de
o
tiempo τ = t2 − t1
E[x(t)] = µx = ctte
Rxx (τ ) = E[x(t)x(t + τ )]
E[x2 (t)] = Rxx (0)
Adem´s la autocorrelaci´n se caracteriza por :
a
o
Rxx (τ ) = Rxx (−τ )|Rxx (τ )| ≤ Rxx (0)

|Rxx (0)| = E[x2 (t)]
La gr´fica de Rxx (τ ) nos da la informaci´n del comportamiento temporal del
a
o
P.A.
Observaciones

EC1421 Se˜ales y Sistemas
n

Sept-Dic 2006 - Prof. Cecilia Murrugarra Q.

• Si la densidad de probabilidad conjunta es independiente del tiempo hasta
un orden m, se dice que el proceso es estacionario de orden m, lo que
incluye laestacionaridad de los ordenes menores.
• Si el P.A. es estacionario de orden 1, el valor promedio (E[x(t)]) de la v.a es
constante.
• Si es de 2 orden adem´s de cumplirse la condici´n anterior la correlaci´n
a
o
o
entre dos v.a. depender´, no de la ubicaci´n absoluta sino de la distancia
a
o
entre ellos (τ ).
Un proceso SSS es WSS, pero un proceso WSS no necesariamente es SSS.

PromediosTemporales y Ergodicidad.
• Ergodicidad de la esperanza o media de una funci´n muestra x(t) de
o
un proceso aleatorio X(t) es definido como:
1
x = E[x(t)] = lim
¯
T →∞ T

T /2

∞

x(t)dt =
T /2

x(t)f dp(x)dx(t)
−∞

• La Autocorrelaci´n de una funci´n muestra es definida como:
o
o
∞

Rxx (τ ) = E[x(t)x(t + τ )] =

x(t)x(t + τ )f dp(x)dx
−∞

Los valores de x y Rxx (τ )dependen de la funci´n muestra del P.A. Proceso
¯ ¯
o
Erg´dico
o
Si la naturaleza del P.A. es tal, que los promedios estad´
ısticos conjuntos y los
promedios temporales (¯) son iguales, se conoce como Proceso Erg´dico.
x
o
Un proceso estacionario X(t) se conoce como erg´dico en la media s´
o
ı:
x = E[x(t)] = µx = ctte
¯
Un proceso estacionario X(t) se conoce como erg´dico en laautocorrelaci´n s´
o
o ı:
E[x(t)x(t + τ )] = Rxx (τ )
EC1421 Se˜ales y Sistemas
n

Sept-Dic 2006 - Prof. Cecilia Murrugarra Q.

S´ X(t) es erg´dico, todas sus promedios estad´
ı
o
ısticos pueden
determinarse de una funci´n de muestra.
o
Relaci´n de Par´metros de se˜ ales el´ctricas y los promedios
o
a
n
e
temporales
1. x = E[x(t)] es igual al nivel DC de la se˜al x(t).
¯
n
2. Rxx(0) = E[x(t)2 ] = x2 es igual a la potencia promedio total de x(t).
3. E[x(t)]2 = x2 es igual a la Potencia DC de x(t).
¯
2
4. σx = E[x2 ] − E[x]2 es igual a la potencia promedio AC de x(t).

5. σx es el valor RMS de la se˜al x(t).
n
6. F {Rxx (τ )} = Sxx (jw) Densidad Espectral de potencia.
Densidad Espectral de Potencia DEP S(jw)
Un proceso aleatorio es una colecci´n de se˜ales entiempo, por tanto, no
o
n
podemos calcular la transformada de Fourier del proceso en si mismo, pero
podemos obtener una representaci´n del proceso en el dominio de la frecuencia
o
si expresamos la transformada de Fourier en t´rminos de un promedio del
e
conjunto de realizaciones. La secuencia de autocorrelaci´n de un proceso
o
estacionario en sentido amplio (WSS) proporciona una descripci´n...