Productos notables y factorizacion

UNIDAD 2: INTRODUCCION AL ALGEBRA ELEMENTAL

2009

3. Productos notables y factorización.
Al resolver la multiplicación de binomio, realizamos dicha operación aplicando la propiedad distributiva y hacemos uso de las algunas leyes de los exponentes. Ejemplo: al resolver −5 , debemos hacer uso del concepto de exponente: = = = = −5 −5 −5 – 5 −5 − 5 − 5 + 25 − 10 + 25

−5 −5 −5 −5

Ejemplo:al resolver

−5 −5 −5

−5

−4 = −4 = −4 =

− 4 , realizamos la operación: −4 −5 −4 − 4 − 5 + 20 − 9 + 20

A. Productos notables.

Productos notables

Existen productos (como los anteriores) de ciertas expresiones algebraicas, en donde al realizar el producto cumple reglas fijas y donde el resultado puede ser escrito por simple inspección, sin desarrollar la multiplicación indicada, aellos los denominamos productos notables. Así, el primer ejemplo es el llamado cuadrado de un binomio, mientras el segundo le llamamos binomios de término común. A continuación escribimos algunas de las reglas de productos notables.

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Cuadrado de un binomio. Elevando al cuadrado distintos binomios, observamos que en todos los casos se sigue que: Cuadrado + = +2 + de un binomio Ejemplo:Resolver 2 − 3 2 −3 . = 2 = 4 +2 2 − 12 – 3 + −3

Solución: Aplicando el procedimiento anterior:

2 −3

+ 9

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Cuadrado de un trinomio. Si tenemos un trinomio + − cualquiera y esta elevado al cuadrado, podemos agrupar dos términos y aplicar la regla del binomio al cuadrado. Ejemplo: resolver + + − + + −− = = − = = + +2 +2 + + −2 +2 − − + + Cuadrado de un trinomio

Resolviendo la expresión, tomando como un solo termino

−

− + − 2

Resolviendo los símbolos de agrupamiento faltantes: − 2 −2

Acomodando la expresión resultante:

Entonces, el cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de los tres términos mas ( o menos ) el doble producto de los términos de dos en dos.Resolver: Tarea 13.

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Producto de binomios conjugados. Dado cualquier binomio + , se dice que − cualquier producto de binomios conjugados tenemos: + − = − es su conjugado, luego para Binomios conjugados

Ejemplo: Resolver:

−5

+5 =

− 25

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BINOMIOS DE TERMINO COMUN Sean los binomios + + los lamamos de termino común, porque uno de sus términos en cada binomio es igual al delotro. Cuando realizamos la multiplicación de ellos, podemos ver que: + + + + + + = = = + + + + + + + + + Binomio de término común

Entonces podemos decir que, si tenemos un binomio de termino común, es el cuadrado del termino común, mas la suma algebraica de los no comunes por el termino común mas el producto de los no comunes.
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Ejemplo: al resolver

−5 −5 Resolver: Tarea 14.

−5

−4 = −4 =

− 4 , podemos decir entonces que: + −5 − 4 −9 +20

+ −5 −4

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Cubo de un binomio. Primeramente encontremos el cubo de un binomio cualquiera. Ejemplo: al resolver + + + + + ± podemos escribirlo como: = = = = = ± ± ±2 + ± ±2 ± ±2 ±3 +3 ± ± +2 ± Cubo de un binomio + + ± +

Podemos concluir que el cubode un binomio es: el cubo del primero, ± el triple del cuadrado del primero por el segundo, + el triple del primero por el cuadrado del segundo, ± el cubo del segundo • Binomio de Newton. Primeramente observemos el comportamiento de diferentes potencias del binomio + . + + + + = = = = 1 1 1 + 1 1 +2 + 1 + 3 +3 + 1

Podemos hacer un análisis del desarrollo de cada uno: i. Cada desarrollo tieneun término más que el exponente del binomio y el exponente del primer y el último término es igual al exponente del binomio, mientras que su coeficiente es uno. ii. A partir del segundo término del desarrollo, el exponente de a es uno menos que el exponente del binomio y va disminuyendo en uno en cada uno de los términos siguientes, mientras que el exponente de b es uno y va aumentando en uno en...