programa java

´ticas y Estad´ıstica
F´ısica, Matema
Primer Curso

´
ALGEBRA
LINEAL I
Juan A. Navarro Gonz´alez
14 de enero de 2014

2

´Indice General
1 Preliminares
1.1 Relaciones de Equivalencia
1.2 N´
umeros Complejos . . . .
1.3 Permutaciones . . . . . . .
1.4 Matrices . . . . . . . . . . .

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1
1
2
3
5

2 Espacios Vectoriales
7
2.1 Espacios Vectoriales y Subespacios Vectoriales . . . .. . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Teor´ıa de la Dimensi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Suma Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Aplicaciones Lineales
3.1 Aplicaciones Lineales . . . . . . .
3.2 Teorema de Isomorf´ıa . . . . . .
3.3 Cambio de Base . . . . . . . . . .
3.4 El Espacio Vectorial HomK (E, E.
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4 Geometr´ıa Eucl´ıdea21
4.1 Producto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Espacios Vectoriales Eucl´ıdeos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 Bases Ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Endomorfismos
5.1 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Valoresy Vectores Propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Diagonalizaci´on de Endomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

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27
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4

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 1

Preliminares
1.1

Relaciones de Equivalencia

Definici´
on: Dar una relaci´
on ≡ en un conjunto X es dar una familia de parejas ordenadas
de X, y pondremos x ≡ ycuando la pareja (x, y) est´e en tal familia. Diremos que es una
relaci´on de equivalencia si tiene las siguientes propiedades:
1. Reflexiva: x ≡ x, ∀x ∈ X.
2. Sim´etrica: x, y ∈ X, x ≡ y ⇒ y ≡ x.
3. Transitiva: x, y, z ∈ X, x ≡ y, y ≡ z ⇒ x ≡ z.
Ejemplo: Sea n un n´
umero natural, n ≥ 2. Diremos que dos n´
umeros enteros a, b ∈ Z son
congruentes m´odulo n cuando b − a es m´
ultiplo den:
a ≡ b (m´od. n) cuando

b − a = cn para alg´
un c ∈ Z .

La relaci´on de congruencia m´odulo n es una relaci´on de equivalencia en el conjunto Z:
Reflexiva: Si a ∈ Z, entonces a ≡ a (m´od. n) porque a − a = 0 · n.
Sim´etrica: Si a ≡ b (m´od. n), entonces b − a = cn, donde c ∈ Z; luego a − b = (−c)n, y
por tanto b ≡ a (m´od. n).
Transitiva: Si a ≡ b y b ≡ c (m´od. n), entonces b − a =xn y c − b = yn, donde x, y ∈ Z;
luego c − a = (c − b) + (b − a) = yn + xn = (y + x)n, y por tanto a ≡ c (m´od. n).
Esta relaci´on de equivalencia tiene adem´as la siguiente propiedad:
a ≡ b (m´od. n) ⇒ a + c ≡ b + c y ac ≡ bc (m´od. n)

c∈Z

pues si b = a + xn, donde x ∈ Z, entonces b + c = a + c + xn y bc = (a + xn)c = ac + xcn.
Definici´
on: Dada una relaci´on de equivalencia ≡ en unconjunto X, llamaremos clase de
equivalencia de un elemento x ∈ X al subconjunto de X formado por todos los elementos
relacionados con x. Se denota x
¯ = [x] = {y ∈ X : x ≡ y} y diremos que es la clase de x
respecto de la relaci´on de equivalencia ≡.
Diremos que un subconjunto C ⊆ X es una clase de equivalencia de la relaci´on ≡ si es
la clase de equivalencia de alg´
un elemento x ∈ X; es...