Programacion lineal

Unidad 3

3.1. Definición de modelo de
programación lineal
Un proceso productivo, en su forma más general, puede ser analizado como
un conjunto secuenciado de actividades que tienen como propósito combinar
y transformar ciertos insumos, para obtener uno o varios tipos de productos
terminados.
Recordemos que la forma en que se establece la secuencia de las
actividades, generalmente estádada por las condiciones tecnológicas
del proceso productivo. A continuación se presenta un diagrama de la
situación que se describe:

Figura 3.1. Diagrama de un proceso productivo.
Además de los insumos (materia prima, mano de obra, energía, etc.),
se requieren también de ciertos activos fijos como: instalaciones físicas,
maquinaria, almacenes y equipos en general. Estos activos determinancierta capacidad instalada que no puede ser modificada de manera
instantánea, a menos que se hagan inversiones y ampliaciones, las cuales
usualmente requieren de una inversión adicional y de tiempo suficiente
para poderlas efectuar.
Ante las limitaciones de capacidad instalada y muchas otras restricciones
dentro de las cuales opera una empresa (como restricciones legales,
fiscales,ecológicas, sociales, etc.), el propietario o responsable de la

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Investigación de operaciones

operación de la empresa buscará obtener el mayor provecho de los
recursos con los que dispone, esto es, buscará alcanzar niveles de
producción con los que maximice su beneficio.
Es importante mencionar que en la práctica los procesos productivos
pueden ser muy complejos, con una gran diversidad deproductos y con
la combinación de muchos insumos. Sin embargo, la complejidad de
dichos procesos no influye para que éstos puedan ser analizados desde
la perspectiva de la I. O.
Supongamos que una empresa produce n productos (donde n puede ser
cualquier número entero positivo) por medio de un proceso productivo
que consta de m etapas (donde m también debe ser un número entero y
positivo).Si partimos del supuesto que la demanda es ilimitada y, por lo
tanto, el fabricante vende todo lo que produce, así como que cada uno de
los productos que elabora, tiene su propia contribución a las utilidades:
c1, c2, ..., cn, ¿cuánto debe fabricar de cada producto para que los ingresos
sean máximos?
Si representamos por: x1, x2, ..., xn las cantidades por producir para cada
uno de los nproductos distintos, entonces la función de ingresos del
fabricante está dada por:
Z = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn
El análisis de transformación lo podemos realizar a partir del diagrama
siguiente:

Figura 3.2. Diagrama de bloques del proceso.

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Unidad 3

El producto 1 al pasar por la etapa 1 consume a11 unidades del recurso 1; al
pasar por la etapa 2 requiere de a12 unidades delrecurso 2 y así sucesivamente,
el producto 1 al pasar por la etapa m-ésima requiere a1 m unidades del recurso
m-ésimo.
De forma similar, el producto 2 al pasar por la etapa 1 consume a21
unidades del recurso 1, al pasar por la etapa 2 requiere de a22 unidades
del recurso 2 y así sucesivamente, el producto 1 al pasar por la etapa
m-ésima requiere a2 m unidades del recurso m-ésimo.
En general, eltérmino aij representa la cantidad del recurso j-ésimo
que requiere en la etapa j-ésima del proceso, cada unidad de producto
i-ésimo, donde:
1 i  n

y 1 j  m

Como los recursos son limitados, las restricciones serán válidas tanto para
las personas como para las empresas. Si denotamos por: b1, b2, ..., bm las
disponibilidades máximas de cada uno de los recursos de las m etapas
delproceso productivo, entonces debemos reconocer que el número de
unidades producidas de cada tipo de bien deberá estar limitado por la
disponibilidad máxima de los recursos que se requieren para la producción
total. Esta condición expresada matemáticamente toma la forma de un
conjunto de m desigualdades con n variables:
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn  b1
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn  b 2...