PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES MCO/MV

PROPIEDADES DE LOS ESTIMADORES MCO/MV





INTRODUCCIÓN

Una vez lograda una expresión matricial para la estimación de los parámetros del modelo, es pertinente comprobar las propiedades estadísticas de los mismos. En este sentido, los parámetros MCO o Máximo-verosímiles se calcularán así1:



donde se ha utilizado la expresión del modelo en forma matricial:



Se demuestra, acontinuación, que estos estimadores son estimadores lineales, insesgados, óptimos y consistentes (ELIO2+Consistentes). Es decir, cumplen condiciones estadísticamente deseables para un determinado estimador.

Insesgadez: En primer lugar, contar con un estimador insesgado nos asegura que el valor esperado de nuestro cálculo coincide con el valor real del parámetro.

Eficiencia: La segunda propiedadpermite asegurar que los parámetros estimados también serán “óptimos”; es decir, serán los que cuenten con la varianza más pequeña de entre todos los insesgados3.

Consistencia: En tercer lugar, se demostrará que los MCO también son consistentes. Esto quiere decir que el valor obtenido en la estimación MCO coincidirá con el valor de los parámetros reales si en lugar de utilizar una muestrausáramos el total de los datos (o dicho de otro modo, una muestra infinita).

Adicionalmente, suele añadirse a la insesgadez, eficiencia y consistencia la deseable propiedad matemática de la linealidad. En concreto, en nuestro contexto, entendemos por “linealidad” del estimador el hecho de que los estimadores sean combinación lineal de las perturbaciones aleatorias. Esta relación lineal entreestimador y perturbación tendrá importantes consecuencias para poder determinar las propiedades de la distribución de los parámetros. Bajo el supuesto habitual de normalidad de las perturbaciones aleatorias, demostrar que los parámetros son una combinación lineal de éstas lleva inmediatamente a conocer en qué forma se distribuyen nuestros coeficientes estimados. Sabiendo cuál es su función de densidad,podremos calcular con facilidad en qué rango o intervalo se mueven éstos e, incluso, podremos diseñar algunos contrastes estadísticos para averiguar el grado de significatividad de estos (en qué medida podemos decir que los parámetros son distintos de cero o, dicho de otra forma, en qué grado las variables a las que multiplican dichos parámetros son relevantes para la explicación de la variableendógena del modelo).

LINEALIDAD

Para comprobar que los parámetros estimados son una combinación lineal de las perturbaciones aleatorias del modelo, basta con sustituir “Y” en la expresión de cálculo de los mismos por su expresión completa (entre “llaves” en la expresión de más abajo):



Los estimadores MCO son una combinación lineal de las perturbaciones aleatorias.

Como ya se haindicado anteriormente, esta comprobación será de especial trascendencia para acometer la fase de validación del modelo ya que una función lineal de una variable aleatoria que se distribuye como una normal también se distribuye como una normal. A partir de esta deducción, podremos determinar los intervalos de confianza en los que se moverán nuestras estimaciones y podremos realizar hipótesis sobre elvalor real de los parámetros a contrastar estadísticamente.

INSESGADEZ

En este momento tiene interés demostrar que el valor esperado del parámetro estimado con MCO coincide con el valor real del parámetro.

Para la demostración, partiremos del resultado obtenido en el apartado anterior, cuando escribimos los parámetros como una combinación lineal de las perturbaciones aleatorias:



Elvalor esperado del estimador coincide con el real.

ÓPTIMO (EFICIENCIA)

El objeto de esta demostración es comprobar que los parámetros estimados mediante MCO son los que tienen la varianza más pequeña de entre todos los alternativos posibles de la familia de los insesgados. Utilizaremos dos vías alternativas para demostrar esta propiedad.

Demostración 1: Eficiencia de MCO por...