Propiedades de los Limites

INTRODUCCIÓN
De nuevo partiendo de la visualización de ejemplos concretos pretendemos obtener con todo rigor las propiedades de los límites. En primer lugar se analizan las propiedades fundamentales que aunque son bastante intuitivas sirven como base a la demostración de las propiedades operativas y son imprescindibles para obtener más adelante las propiedades de las funciones continuas. En unsegundo apartado se obtienen las propiedades operativas de los límites, tanto en el caso de límites en un punto como de límites en el infinito, y tanto en el caso de límites finitos como infinitos. Estas propiedades son la base de los métodos de cálculo de límites. Por último se dedica un apartado al análisis de los llamados límites indeterminados, mostrando con ejemplos el significado de estasindeterminaciones y aclarando un concepto que produce muchas confusiones en los alumnos.

Propiedades de los Límites

Unicidad del límite.
"Si una función tiene límite en un punto, éste es único".

Dicho de otra manera, si existe el límite de f(x) cuando x se acerca a un cierto punto, a, f(x) no puede acercarse simultáneamente a dos puntos distintos, b y c.





Es decir,hipotéticamente, nos encontramos con una función que tiene dos límites diferentes en el punto a. Ahora bien, el hecho de que b sea el límite de la función f(x) en el punto a significa que fijado un número positivo, e, es posible encontrar otro número positivo, d, tal que si x dista de a menos que d, entonces f(x) dista de b menos que e.
Considera los valores de e y d que has obtenido en las cuestiones 3 y 4. Loque hemos dicho en el párrafo anterior significa que si |x-a| < d, entonces f(x) se encuentra entre las dos líneas verdes horizontales, es decir, su distancia a b es menor que e.


Sin emgargo, si consideramos que también c es el límite de f(x) en el punto a, también podemos concluir, por la definición de límite, que fijado un número positivo, e, es posible encontrar otro número positivo, d,tal que si x dista de a menos que d, entonces f(x) dista de c menos que e. O sea, con los valores obtenidos en las cuestiones 3 y 5, resulta que si |x-a| < d, entonces f(x) se encuentra entre las dos líneas azules horizontales, es decir, su distancia a c es menor que e.

Y ahora llegamos al punto clave. El valor de e que has obtenido en la cuestión 3 garantizaba que el entorno de b limitado porlas líneas verdes y el entorno de c limitado por las líneas azules no tenían ningún punto en común. Sin embargo, si aceptamos que tanto b como c son límite de f(x) en el punto a, resulta que si |x-a| < d, f(x) tiene que estar simultáneamente en ambos entornos. Como f(x) es un número único eso no es posible. En consecuencia, no es posible que una función tenga dos límites distintos.

Puede quete preguntes "¿entonces como es que en la figura sí es posible?", La respuesta es muy simple: la gráfica de la figura no es la gráfica de una función, pues para que sea una función a cada valor, x, del dominio le debe corresponder uno y sólo un valor, y, de la imagen. La imagen sobre la que hemos trabajado consiste realmente en las gráficas de dos funciones diferentes. El hecho de utilizar esaimagen se debe a que nos permite visualizar una hipotética situación de función con dos límites, aunque hemos comprobado que eso no es posible.

Acotación.
"Si una función tiene límite en un punto, existe un entorno de ese punto en el que la función está acotada".

En otras palabras, en los alrededores del punto a, la gráfica de la función está totalmente contenida en una franja limitada por dosrectas horizontales.



El hecho de que eso sea cierto implica que si x Î (a-d,a+d), entonces f(x) Î (b-e,b+e). Es decir, hemos encontrado un entorno del punto a, (a-d,a+d), en el que f(x) no sobrepasa los valores b-e (por debajo) ni b+e (por encima). O sea, en ese intervalo f(x) está acotada.

Conservación del signo.
"Si el límite de una función en un punto no es cero, existe un...