proyecto

ANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS
EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

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INTRODUCCIÓN
En el capítulo 7 se presentó una estrategia para el análisis de la respuesta dinámica de un
sistema en el dominio del tiempo discreto, basada en la solución completa de la ecuación en
diferencias (EED) ante una entrada arbitraria. Sin embargo, su solución puede complicarse para
cierto tipo de entrada. En elcapítulo 8 se desarrolló un método de transformación que facilitó la
evaluación de la respuesta del sistema, utilizando como herramienta la transformada Z. En los
dos casos, la evaluación del comportamiento dinámico del sistema está supeditada al uso de
prototipos de primero o segundo orden y al conocimiento de la entrada del sistema, reconocida
como la señal de prueba. En este capítulo sepresentarán los métodos clásicos para el análisis de
un sistema discreto en el dominio de la frecuencia digital, similar al tratamiento que se dio a los
sistemas continuos en el capítulo 4. La principal característica de estos métodos, es que pueden
aplicarse a cualquier orden del sistema y no se requiere la utilización de señales de prueba.
Se hará referencia al concepto de respuesta de frecuencia(RDF) que permite inferir
sobre el comportamiento dinámico del sistema en tiempo discreto, desde el dominio de la
frecuencia digital. Similar al tratamiento que se dio en el capítulo 4 al sistema continuo, la RDF
se desarrollará a partir de la función de transferencia discreta (FTD). Con base en lo anterior se
desarrollará la transformada de Fourier en tiempo discreto (TFTD), como unaherramienta para
el análisis de una señal discreta en el dominio de la frecuencia digital. Para comprender la
relación que existe entre la transformada de Fourier en tiempo continuo (TFTC) y su análoga en
el dominio discreto (TFTD), será necesario revisar el proceso de muestreo y reconstrucción de
una señal continua, que será considerado en el capítulo 10.

9.1 DOMINIO DEL TIEMPO DISCRETO v/sDOMINIO-Ω
En esta sección se demostrará que es posible representar una señal armónica x[ n] definida
en el dominio del tiempo discreto, en términos de sus valores característicos: frecuencia
fundamental, amplitud y fase. Esta representación es el principio de la transformada de
Fourier en tiempo discreto (TFTD). De modo similar, si un sistema discreto se modela a
través de su respuesta impulso: h[n] , un tratamiento similar permitirá desarrollar su
respuesta de frecuencia (RDF) para evaluar su comportamiento dinámico en el dominio de
la frecuencia digital.

9-1

9-2

Capítulo 9 – ANALISIS DE SISTEMAS DISCRETOS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Respuesta de un sistema discreto LIT a una señal armónica
Si un sistema discreto LIT modelado por su respuesta impulso h[ n] es sometidoa una
señal armónica x[ n] = Ae j ( n Ω 0 +θ ) , donde A es la amplitud, Ω0 la frecuencia fundamental en
radianes y θ la fase en radianes, aplicando convolución lineal, su respuesta forzada es:

y[ n ] =

∞

∑

k =−∞

h[ k] x[ n − k] =

⎡ ∞
⎤
h[ k] Ae j [( n− k )Ω 0 +θ ) = ⎢ ∑ h[ k] e− j kΩ 0 ⎥ Ae j ( n Ω 0 +θ )
∑
⎣ k=−∞
⎦
k =−∞
∞

(9.1)

El segundo factor en (9.1) es laseñal de entrada y el término entre corchetes es una
expresión compleja que solo depende de la frecuencia digital Ω0 y puede expresarse como

H ( e jΩ 0 ) =

∞

∑ h[ k] e

− j kΩ 0

(9.2)

k =−∞

Sustituyendo (9.2) en (9.1) la respuesta forzada del sistema discreto es

y[ n] = H ( e j Ω 0 ) × x[ n]

(9.3)

Este resultado es similar al que se obtuvo en la sección 8.1 cuando seevaluó la respuesta
de un sistema LIT a una entrada exponencial compleja, si en la ecuación (8.2) sustituimos
z = e j Ω 0 . Lo anterior permite reconocer que la respuesta forzada a una entrada armónica,
también es armónica y solo se ve afectada por el factor de escalamiento complejo
H ( e j Ω 0 ) , que modifica su amplitud y fase. La expresión (9.2) puede calcularse como:

H ( e j Ω 0 ) = H...