prueba

UNIVERSIDAD DE CONCEPCION
FACULTAD DE CIENCIAS
FISICAS Y MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA

PAUTA - EVALUACION 2
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (521218-525221)
Problema 1. Determine la ecuaci´n de la curva integral (curva soluci´n) de la EDO
o
o
x3 y (x) + 5x2 y (x) + 4x y(x) = x2 + 1,

x > 0;

cuya tangente en el punto (1, −1) de la curva tiene unainclinaci´n de 45 respecto del eje X.
o
Soluci´n:
o
Para x > 0, el PVI a resolver es:

2
 x2 y + 5x y + 4y = x + 1 ,

x



x>0
(1)

y(1) = −1
y (1) = 1

Haciendo x = et , la EDO anterior se reduce a la de coeficientes constantes
y (t) + 4y (t) + 4y(t) = et + e−t .

(2)
[3 ptos.]

Determinaci´n de yh :
o
(D2 + 4D + D)y(t)
(D + 2)2 y(t)
=⇒ yh (t)
=⇒ yh (x)

=0
=0
= c1 e−2t+ c2 t e−2t
= c1 x−2 + c2 x−2 ln (x)

Determinaci´n de yp :
o
El operador (D − 1)(D + 1) es un aniquilador para et + e−t . Sigue que
(D − 1)(D + 1)(D + 2)2 y(t) = 0
=⇒ yp (t) = Aet + Be−t
[5 ptos.]

1

Ahora reemplazando yp (t), yp (t) e yp (t) en la EDO (2), se obtiene
1
yp (t) = et + e−t
9
y en la variable original
1
yp (x) = x + x−1 .
9
[3 ptos.]
As´ la soluci´n general ala EDO (1), es
ı,
o
1
y(x) = c1 x−2 + c2 x−2 ln (x) + x + x−1 ,
9

(3)

y reeplazando las condiciones iniciales en y(x) e y (x), se obtiene:
c1 =

−19
9

y

c2 =

−7
.
3

Finalmente, la soluci´n al PVI, es
o
y(x) =

1
−19 −2 −7 −2
x +
x ln (x) + x + x−1 .
9
3
9
[4 ptos.]

2

Problema 2. Encuentre la soluci´n de la siguiente ecuaci´n diferencial ordinaria:
oo
t y (t) + y (t) = e2t U1 (t)
y (0) = 1
Notaci´n: U1 (t) = H1 (t) = H (t − 1).
o
Soluci´n:
o
Ya que
L (ty (t)) (s) = −

d
L (y (t)) (s) ,
ds

aplicando la transformada de Laplace a
t y (t) + y (t) = e2t U1 (t)
llegamos a
d
L (y (t)) (s) + L (y (t)) (s) = L e2t U1 (t) (s) .
ds
Combinando la f´rmula de integraci´n por partes con y (0) = 1 se obtiene que
o
o
−

(4)

L (y) (s) = sL (y) (s) − y (0) = sL (y) (s) − 1,
as´ que
ı
−

d
d
d
L (y (t)) (s) = − (sL (y) (s) − 1) = −L (y) (s) − s L (y) (s) .
ds
ds
ds

Por lo tanto,
−

d
d
L (y (t)) (s) + L (y (t)) (s) = −s L (y) (s) .
ds
ds

(5)
[6 ptos.]

Por otro lado,
L e2t U1 (t) (s) = e−s L e2(t+1) (s) = e−s e2 L e2t (s) = e−s e2 / (s − 2) .
Combinando (4) con (5) y (6) obtenemos que
−

e−se2
d
L (y) (s) =
.
ds
s (s − 2)

d
Puesto que − ds L (y) (s) = L (t y (t)) (s),

L (t y (t)) (s) =

e−s e2
.
s (s − 2)
[4 ptos.]

3

(6)

Ahora,
e−s e2
(t)
s (s − 2)
e2 −1 e−s
e2
=
L
(t) − L−1
2
s−2
2

t y (t) = L−1

e−s
s

(t) .

Notemos que
e2 −1
L
2

e−s
s−2

(t) =

e2 −1 −s
e2
L
e L e2t (s) (t) = U1 (t) e2t−2 .
2
2

y
e2 −1
L
2e−s
s

(t) =

e2 −1 −s
e2
L
e L (1) (s) (t) = U1 (t) .
2
2

Lo que implica que
t y (t) =

e2
U1 (t) e2t−2 − 1 ,
2

as´ que para t = 0,
ı
y (t) = U1 (t)

e2t − e2
.
2t
[5 ptos.]

4

Problema 3. Un resorte experimenta una alargamiento de 2.5 [mt] al suspender de ´l un
e
cuerpo de masa unitaria. Luego de alcanzar el punto de equilibrio, sobre el cuerpo que se liberadesde el reposo 1 mt por abajo de ese punto, se aplica una fuerza de f (t) = e−t [N].
Suponiendo que el amortiguanmiento es despreciable y si luego de π segundos la masa recibe
un golpe s´bito hacia abajo de 2 unidades de momento lineal, determine el desplazamiento del
u
sistema.
Ind: Considere la aceleraci´n de gravedad g = 10 [m/s2 ]
o
Soluci´n:
o
El PVI que gobierna el problemadescrito viene dado por

 m x (t) + K x(t) = f (t) + 2δ(t − π)
x(0) = 1,

x (0) = 0.
donde m = 1, f (t) = e−t y la constante K del resorte se calcula por la ley de Hooke
mg = K s,
donde s = 5/2. Tomando g = 10 [m/s2 ] se obtiene K = 4.

 x (t) + 4 x(t) = f (t) + 2δ(t − π)
x(0) = 1,
Asi, el PVI a resolver es:

x (0) = 0.
[4 ptos.]

Poniendo X(s) = L [x(t)] y F (s) = L [f (t)], se...