Pruebas De Selectividad En La Universidad De Castilla-La Mancha

2 Ejercicios resueltos de Inferencia Estadística

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2.

Ejercicios resueltos de Inferencia Estadística
1. En el último campeonato regional de maratón, la variable “tiempo empleado en recorrer la distancia de 42 km. y 195 m.” se distribuyó normalmente con una desviación típica de 0,49 horas. En una muestra de 38 atletas, se ha medido la misma variable y el valor obtenido para la media esde 3,29 horas. Hallar un intervalo de confianza para la media poblacional con una confianza del 85 % y explicar el significado de este intervalo. Solución: Al 85 % de confianza se tiene que 1 − α = 0,85 ⇒ α = 0,15 ⇒ α/2 = 0,075 ⇒ 1 − α/2 = 0,925. De aquí se obtiene, mirando en la tabla de la distribución normal N (0, 1) que zα/2 = 1,44. Por tanto el intervalo de confianza es: σ σ x − zα/2 · √ , x +zα/2 · √ n n

=

0,49 0,49 3,29 − 1,44 · √ , 3,29 + 1,44 · √ 38 38

= (3,18, 3, 40)

Este intervalo quiere decir que, con un nivel confianza del 85 %, la media µ de la población se encuentra entre 3,18 y 3,40. 2. Según un estudio realizado por una empresa hotelera durante el año 1992, la distribución del tiempo de estancia de cada viajero fue normal con una media de 3,7 días y una desviacióntípica de 1,1 días. A lo largo del año 2000 se analizó el tiempo de estancia de 49 viajeros elegidos al azar, obteniéndose una media de 3,5 días. ¿Podemos afirmar que esta diferencia es debida al azar con una confianza del 88 %? Con el mismo nivel de confianza, ¿cambiaría la respuesta si esta media de 3,5 días se hubiera obtenido al analizar el tiempo de estancia de 100 viajeros elegidos al azar?Solución: Al 88 % de confianza se tiene que 1 − α = 0,88 ⇒ α = 0,12 ⇒ α/2 = 0,06 ⇒ 1 − α/2 = 0,94. De aquí se obtiene, mirando en la tabla de la distribución normal N (0, 1) que zα/2 = 1,555. El intervalo de confianza es por tanto: σ σ x − zα/2 · √ , x + zα/2 · √ n n

=

1,1 1,1 3,5 − 1,555 · √ , 3,5 + 1,555 · √ 49 49

= (3,26, 3, 74)

Como µ = 3,7 ∈ (3,26, 3, 74) podemos afirmar, con una confianzadel 88 %, que esta diferencia sí que es debida al azar, ya que la diferencia no es significativa. Para el tamaño de la muestra n = 100, el intervalo de confianza es: σ σ x − zα/2 · √ , x + zα/2 · √ n n

=

1,1 1,1 3,5 − 1,555 · √ , 3,5 + 1,555 · √ 100 100

= (3,33, 3, 67)

En este caso la media poblacional µ = 3,7 no se encuentra dentro del intervalo de confianza, con lo que la diferenciaentre esta media y la media muestral x = 3,5, no es debida al azar, es decir, existe diferencia significativa.

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3. En una empresa de exportación de cítricos se investiga el peso medio de cierta variedad de naranjas. Se admite un error máximo de 10 gramos, con una confianza del 95 %. Se sabe por estudios de otros años que el peso medio sedistribuye normalmente siendo la desviación típica 60 gramos. ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra a elegir? ¿Y si se desea una confianza del 99 %? Solución: σ El error máximo admisible viene dado por la expresión E = zα/2 · √ . n A una confianza del 95 % se tiene que 1 − α = 0,95 ⇒ α = 0,05 ⇒ α/2 = 0,025 ⇒ 1 − α/2 = 0,975. Para este valor, buscando adecuadamente en la tabla de la distribuciónnormal N (0, 1) tenemos que zα/2 = 1,96. Como el error máximo que se admite es de 10 gramos:

√ √ 60 60 σ ⇔ n = 11,76 ⇔ n = 138,2976 E = zα/2 · √ ⇔ 10 = 1,96 · √ ⇔ n = 1,96 · 10 n n
Por tanto el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo no supere los 10 gramos, a una confianza del 95 %, ha de ser de n = 139. Si la confianza es del 99 %, entonces 1 − α = 0,99 ⇒ α = 0,01 ⇒ α/2 = 0,005 ⇒1 − α/2 = 0,995. Y, para este valor se obtiene, utilizando la tabla de la normal N (0, 1), que zα/2 = 2,575. Por tanto, este caso:

√ √ σ 60 60 E = zα/2 · √ ⇔ 10 = 2,575 · √ ⇔ n = 2,575 · ⇔ n = 15,45 ⇔ n = 238,7025 10 n n
Ahora, el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo no supere los 10 gramos, a una confianza del 99 %, ha de ser de n = 239. 4. Se sabe que en una muestra de 36...