Quimica

TEMA

1

Relación de ejercicios y problemas.
Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes.

1. Para los siguientes sistemas de ecuaciones lineales se pide:
a) Transformar el sistema en un sistema escalonado reducido.
b) Discutir el sistema.
c) Resolver el sistema si tiene solución.
a)
x1
2x1

x2 −2x3 = −4
+x2 −x3 =
0
−x2 +x3 =
3

b)
x +y −z +t
2x +2y +z +t
y +2z −t
x+y −z +2t

=
4
=
4
= −2
=
5

c)
5x +y +3z =
4
2x +y −z =
5
3x −y +2z = −1
d)
x +y
+t
x
+z +t
y −z
x +y +z +t

=
=
=
=

0
0
0
0

e)
x +y −z +t −v = 0
x −y +z +t +v = 1
x
+t
=1
2. Para los sistemas del ejercicio anterior escribir la matriz ampliada del sistema, calcular
su forma normal de Hermite por filas y el rango. Comparar los rangos de la matriz decoeficientes y de la matriz ampliada para cada sistema.
1

2

Álgebra Lineal y Geometría (Grado en Ing. de Tec. de Telecomunicación)

3. Calcular la forma normal de Hermite por filas, la forma normal de Hermite por columnas
y el rango de cada una de las siguientes matrices:




1
12
123
 2 −1 1 
1 2 3


A=
B=
1

1 2 4
12
2
10
210




1
111
1
210
12 1 0

0 1 1
C =  −1
D=
 0 −1 1 1 
1 −1 1 0
−1
010




2 −1 1
1
11
1
1
1
1 0
01
0


E=
F=
 1 −1 0 
1
21
2
2
10
1 −1 1 −1
4. Calcular AB y BA siendo



1
01
1 1
A =  −1
1 −1 1




2 10 1
yB= 1 0 2 
0 12

5. Encontrar matrices cuadradas A y B para las que (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 y (A +
B)(A − B) = A2 − B2 . Explicarpor qué, en general, no se da la igualdad.
6. Dada A ∈ Mn (K), diremos que A es simétrica si A = At , y que es antisimétrica si
A = −At . Denominaremos por Sn (K) (respectivamente An (K)) al conjunto de todas las
matrices de Mn (K) que son simétricas (resp. antisimétricas). Se pide:
a) Probar que la suma de dos matrices simétricas (resp. antisimétricas) es una matriz
simétrica (resp.antisimétrica).
b) El producto de un escalar por una matriz simétrica (resp. antisimétrica) es una matriz
simétrica (resp. antisimétrica).
c) Dada A ∈ Mn (K) entonces A + At ∈ Sn (K) y A · At ∈ Sn (K).
d) Probar que toda matriz cuadrada real se expresa como suma de una matriz simétrica
y una antisimétrica.
e) Probar que si A, B ∈ Sn (K) entonces AB ∈ Sn (K) si, y sólo si, AB = BA.
7. Calcular elproducto AB
A=

1 −1
1 −1

B=

12
12

¿Pueden tener A o B inversa?
8. De una cierta matriz cuadrada A se conoce que verifica la igualdad
A2 + 2A − I = 0
¿tiene A inversa? ¿cuál es su expresión en función de A?
Departamento de Álgebra (UGR)

Tema 1. Relación de ejercicios y problemas.
Sistemas de ecuaciones, matrices y determinantes.

3

9. Encontrar matrices cuadradas X, Y , Ztales que:
a) X ·

21
32

=

45
−1 3

.

45
·Y =
.
−1 3




2 −1 1
1 −1
2
4 2  · Z =  −2
3
1
c)  3
2 −2 1
1 −2 −4

b)

21
32

10. Una matriz A se llama nilpotente si An =
matriz

0
0
0

0 para algún número natural n. Probar que la

10
0 1
00

es nilpotente y calcular el menor número natural tal que An = 0. Deducir que también esnilpotente cualquier matriz de la forma


0 1 0 ... 0
 0 0 1 ... 0 


. . .
.
N =  . . . ... . 
.
. . .
 0 0 0 ... 1 
0 0 0 ... 0
11. Calcular la inversa, cuando exista, de las siguientes matrices usando operaciones elementales:



1
1
1
1
1
1
111
1
 0
1 −1 −1  
1
 0 1 1 ,
,
 1 −1
1 −1   1 −1
001
1 −1 −1
1
1
0




12. Calcular lossiguientes determinantes:
a)
1
1
1
1
1 −1
1
1
1
1 −1
1
1
1
1 −1
b)
1 1/2
1/3
1/5
−1 1/2 −1/3 −1/5
1 1/2
4/3
1/5
2
1
2/3 11/5
c)
25
75
75
25

31
94
94
32

17 43
53 132
54 134
20 48

Curso 2011-12

2
1
0
1


3
1
.
1
2

4

Álgebra Lineal y Geometría (Grado en Ing. de Tec. de Telecomunicación)

d)
1
1
1
1

x
a
0
0

x
0
b...