Quimica
Páginas: 7 (1666 palabras)
Publicado: 7 de marzo de 2013
El Teorema de Pitágoras
David Palomino Alva
En su obra The World as Will and Idea el filósofo Arthur Schopenhauer, realiza un ataque contra el método de Euclides para la demostración de proposiciones. En particular, comenta con ironía la demostración de la proposición 47, que es el número con que aparece el teorema de Pitágoras en los Elementos. Schopenhauer plantea que es risible ycompleja por demás la forma en que esta proposición es demostrada por Euclides, primero realizando construcciones y trazos que sólo enturbian el espíritu, luego se recorre una cadena deductiva de pasos y finalmente se llega por sorpresa a la demostración del teorema. Según Schopenhauer esta demostración es una autentica “ pieza de perversidad”.
El filósofo continúa presentando la figuraadjunta que, según él, posee belleza en si misma, y permite la demostración del teorema de una manera clara a cualquier persona que se digne admirarla.
Como cualquier estudiante de bachillerato conoce, esta figura nos permite demostrar la proposición pitagórica en tan sólo un caso particular: cuando el triángulo rectángulo es isósceles y de ningún modo es general. El error de Schopenhauer esclaro, no entiende exactamente lo que significa demostrar una proposición en matemática. Para probar rigurosamente esta proposición debería hacerlo para cualquier triángulo rectángulo y no sólo para uno de características particulares.
La figura anterior se ha encontrado presente en diversas culturas, en grabados, en telares, y es probable que los babilonios hubieran conocido el teorema dePitágoras aplicado al caso de triángulo rectángulo isósceles antes que Pitágoras. Realmente el mérito del matemático griego radica en haber generalizado esta proposición y haberla demostrado para cualquier triángulo rectángulo.
Varios historiadores de la matemática coinciden en que Pitágoras pudo haberse servido de una disección para la demostración del teorema, las figuras muestran la posibledemostración de Pitágoras.
En la figura superior se puede plantear una equivalencia entre áreas de la siguiente forma:
(a + b )2 = c2 + 4(ab/2)
La figura inferior plantea otra equivalencia, a saber:
(a + b)2 = a2 + b2 +4(ab/2)
Igualando las dos expresiones obtenemos:
c2 = a2 + b2
La proposición pitagórica ha llamado la atención de numerosos matemáticos y aficionados a lolargo del tiempo, convirtiéndose en un deporte intelectual crear una nueva prueba para esta proposición. Entre los aficionados podemos contar al presidente James A. Gardfield quien en la época de su descubrimiento era congresista republicano de Ohio. La demostración fue publicada por primera vez en un semanario de Boston llamado The New England Journal of Education, el 1 de abril de 1876. La pruebase basa en el área de un trapecio, y la mostramos en la figura superior de la página siguiente.
Observando la construcción podemos afirmar que el área del trapecio es igual a la suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos que lo conforman :
[pic]
La demostración algebraica más sencilla del problema se basa en la semejanza de triángulos; la mayoría de nosotros laconoce por ser frecuentemente utilizada en la escuela. La figura adjunta ilustra esta demostración.
Usemos el hecho de que los triángulos ABC , CBX y ACX son semejantes . Entonces podemos plantear
[pic]
Sustituyendo a2 por cx, obtenemos c2 = a2 +b2 que es lo que deseábamos demostrar.
Existen numerosas demostraciones del teorema de Pitágoras, tal vez la obra mejor documentada sobre esto seaThe Pithagorean Proposition del profesor Elisha Scott Loomis , allí se presentan 367 pruebas del teorema. De éstas presentaremos sólo tres más , la famosa disección de Perigal, una basada en la trigonometría y otra , utilizando álgebra vectorial.
La disección de Perigal se basa en ilustración mostrada y prácticamente no necesita palabras, baste sólo señalar que los segmentos UV y XY deben...
David Palomino Alva
En su obra The World as Will and Idea el filósofo Arthur Schopenhauer, realiza un ataque contra el método de Euclides para la demostración de proposiciones. En particular, comenta con ironía la demostración de la proposición 47, que es el número con que aparece el teorema de Pitágoras en los Elementos. Schopenhauer plantea que es risible ycompleja por demás la forma en que esta proposición es demostrada por Euclides, primero realizando construcciones y trazos que sólo enturbian el espíritu, luego se recorre una cadena deductiva de pasos y finalmente se llega por sorpresa a la demostración del teorema. Según Schopenhauer esta demostración es una autentica “ pieza de perversidad”.
El filósofo continúa presentando la figuraadjunta que, según él, posee belleza en si misma, y permite la demostración del teorema de una manera clara a cualquier persona que se digne admirarla.
Como cualquier estudiante de bachillerato conoce, esta figura nos permite demostrar la proposición pitagórica en tan sólo un caso particular: cuando el triángulo rectángulo es isósceles y de ningún modo es general. El error de Schopenhauer esclaro, no entiende exactamente lo que significa demostrar una proposición en matemática. Para probar rigurosamente esta proposición debería hacerlo para cualquier triángulo rectángulo y no sólo para uno de características particulares.
La figura anterior se ha encontrado presente en diversas culturas, en grabados, en telares, y es probable que los babilonios hubieran conocido el teorema dePitágoras aplicado al caso de triángulo rectángulo isósceles antes que Pitágoras. Realmente el mérito del matemático griego radica en haber generalizado esta proposición y haberla demostrado para cualquier triángulo rectángulo.
Varios historiadores de la matemática coinciden en que Pitágoras pudo haberse servido de una disección para la demostración del teorema, las figuras muestran la posibledemostración de Pitágoras.
En la figura superior se puede plantear una equivalencia entre áreas de la siguiente forma:
(a + b )2 = c2 + 4(ab/2)
La figura inferior plantea otra equivalencia, a saber:
(a + b)2 = a2 + b2 +4(ab/2)
Igualando las dos expresiones obtenemos:
c2 = a2 + b2
La proposición pitagórica ha llamado la atención de numerosos matemáticos y aficionados a lolargo del tiempo, convirtiéndose en un deporte intelectual crear una nueva prueba para esta proposición. Entre los aficionados podemos contar al presidente James A. Gardfield quien en la época de su descubrimiento era congresista republicano de Ohio. La demostración fue publicada por primera vez en un semanario de Boston llamado The New England Journal of Education, el 1 de abril de 1876. La pruebase basa en el área de un trapecio, y la mostramos en la figura superior de la página siguiente.
Observando la construcción podemos afirmar que el área del trapecio es igual a la suma de las áreas de los tres triángulos rectángulos que lo conforman :
[pic]
La demostración algebraica más sencilla del problema se basa en la semejanza de triángulos; la mayoría de nosotros laconoce por ser frecuentemente utilizada en la escuela. La figura adjunta ilustra esta demostración.
Usemos el hecho de que los triángulos ABC , CBX y ACX son semejantes . Entonces podemos plantear
[pic]
Sustituyendo a2 por cx, obtenemos c2 = a2 +b2 que es lo que deseábamos demostrar.
Existen numerosas demostraciones del teorema de Pitágoras, tal vez la obra mejor documentada sobre esto seaThe Pithagorean Proposition del profesor Elisha Scott Loomis , allí se presentan 367 pruebas del teorema. De éstas presentaremos sólo tres más , la famosa disección de Perigal, una basada en la trigonometría y otra , utilizando álgebra vectorial.
La disección de Perigal se basa en ilustración mostrada y prácticamente no necesita palabras, baste sólo señalar que los segmentos UV y XY deben...
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