Raices De Funciones

Raíces de Funciones
Los métodos numéricos son científicos en el sentido que representan técnicas sistemáticas para
resolver problemas matemáticos. Sin embargo, los métodos numéricos están sujetos a juicios,
objetivos y conveniencias relacionados con su uso efectivo en la práctica de la ingeniería. De ésta
forma la elegancia, la eficiencia y eficacia de abordar los problemas varía de persona apersona y
están condicionadas con la habilidad de hacer una estimación o selección prudente.
Lamentablemente, como todo proceso intuitivo, los parámetros de selección que influyen en la
solución son difíciles de transmitir y son habilidades que se desarrollan y fortalecen sólo a través
de la práctica y la experiencia.
En este tema podremos reforzar habilidades y aumentar nuestra experiencia en elsolución de
funciones o la búsqueda de raíces que satisfacen alguna condición determinada en una función
dada.
Durante nuestros años de formación, hemos aprendido como obtener las raíces de funciones
cuadráticas utilizando la ecuación
𝑥=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

(1)

Que se utiliza para resolver una función del tipo
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (2)
A los valores obtenidos de la ecuación (1) se le conoce comoraíces de la ecuación (2) que
representa el valor de la variable x cuando la función f(x) es igual a cero.
La ecuación (1) es muy útil para determinar las raíces de funciones cuadráticas pero existen
funciones mucho más complicadas o complejas donde la obtención de la solución no están clara o
directa, donde los métodos numéricos que vamos a ver a continuación ofrecen un medio eficiente
para obtenerla respuesta.
La determinación de raíces de funciones por métodos numéricos ocupa tradicionalmente dos
mecanismos distintos. Primero los métodos cerrados o de intervalos pues necesitan de valores
iniciales para determinar la raíz y luego los métodos abiertos que requieren de un solo valor para
realizar una convergencia porque se acercan progresivamente a la solución o raíz de la función a
medidaque avanzan en el cálculo de la misma.
Método Gráfico
Representa un método simple de determinación de las raíces de una función [f(x)=0] y consiste
simplemente en graficar la función y observar dónde cruza el eje x. Este punto representa el valor
de x para cual f(x) es igual a cero, además ofrece un valor aproximado de la raíz.

1
Dr. Martín E. Candanedo G.

Métodos Numéricos

Ejemplo:
Se realizanlas observaciones de la siguiente función con los siguientes datos:
x
-5
-4
-3
-2
-1
0
f(x) -21.5 -13.7 -7.1 -1.7 2.5 5.5
Confeccionamos nuestra gráfica y obtenemos

1
7.3

2
7.9

3
7.3

4
5.5

5
2.5

6
-1.7

7
-7.1

8
-13.7

9
-21.5

Método Gráfico
f(x) vs X
10
7.9

7.3

7.3

5.5

5

R1

5.5

2.5

R2

2.5

0

-5

-4

-3

-2 -1.7-1

0

1

2

3

4

5

6 -1.77

8

9

-5
-7.1

-7.1

f(x)

-10
-13.7-15

-13.7

-20
-21.5

-21.5

-25

Gráfico de F(x) versus X
2
Dr. Martín E. Candanedo G.

Métodos Numéricos

Por simple inspección podemos ver que existen dos raíces o puntos donde el gráfico corta el eje x,
de izquierda a derecha se observa que entre los puntos -2 y -1 y luego entre los puntos 5 y 6. De
R1 se puede estimar que el valor está cerca de -1.50 y de R2 se puede estimar que el valorestá
cerca de 5.5.
Según el método gráfico
𝑋1 = −1.50
𝑋2 = 5.50
Es claro que nuestra capacidad de estimar el valor de las raíces depende de la escala que
utilicemos para dibujar nuestro gráfico.
Estimación de la Raíz Cuadrada
Si por otro lado se tiene la función
𝑓(𝑥) = −0.6𝑥 2 + 2.4𝑥 + 5.5
Tenemos que
a=-0.6, b=2.4 y c=5.5
Como nuestra función es cuadrática podemos utilizar la ecuación (1) paradeterminar las raíces de
la función en cuestión, por lo que podemos calcular
𝑥1,2 =

𝑥1,2 =

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎

−2.40 ± √2.42 − 4(−0.6)(5.5)
2(−0.6)
𝑥1,2 =

−2.40 ± √18.96
2(−0.6)

𝑥1,2 =

−2.40 ± 4.354
2(−0.6)

𝑥1 = −1.6285
𝑥2 = 5.6286
Se puede observar que nuestra estimación gráfica está muy cerca de los valores verdaderos de las
raíces.

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Dr. Martín E. Candanedo G.

Métodos Numéricos

Método...