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Números reales

Objetivos
En esta quincena aprenderás a:
•

Clasificar los números reales
en racionales e irracionales.

•

Aproximar números reales por
truncamiento y redondeo.

•

Representar gráficamente
números reales.

•

Comparar números reales.

•

Realizar operaciones sencillas
con radicales.

Antes de empezar.
1. Los números reales …………………………… pág. 22
Números irracionales
Númerosreales
Aproximaciones
Representación gráfica
Valor absoluto
Intervalos
2. Radicales ………………………………………………… pág. 26
Forma exponencial
Radicales equivalentes
3. Propiedades de las raíces ………………… pág. 27
Ordenación de números reales
Valor absoluto y distancias
Intervalos y semirrectas
4. Operaciones con raíces ……………………… pág. 28
Introducir y extraer factores
Calcular raíces
Sumas y restas
ProductosCocientes
Ejercicios para practicar
Para saber más
Resumen
Autoevaluación

MATEMÁTICAS A „

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„ MATEMÁTICAS A

Números reales

Antes de empezar

Investiga
Seguramente hayas realizado alguna vez algún cálculo con el número pi; por ejemplo,
calcular la longitud de alguna circunferencia o el área de un círculo. En estos cálculos
habrás utilizado valores como 3'14, 3'1416, 3'141592,... También esposible que hayas
leído en algún periódico que se ha descubierto otra cifra del número pi, o que ya se conocen
con exactitud tantas cifras del número pi. Todo lo anterior resulta un poco confuso. ¿Cuál de
las cantidades anteriores es el auténtico número pi? ¿Cómo es posible que llamemos pi a
todas ellas si es obvio que son diferentes? ¿Cómo es posible que se estén descubriendo
todavía cifras de pi silo estamos usando desde hace un montón de años?
Intenta dar una respuesta a estas preguntas. Si no lo consigues ahora vuelve a intentarlo
después de ver este tema en profundidad. Para finalizar la propuesta ahí va otra pregunta:
¿Cuál es o cuál podría ser la última cifra del número pi?

MATEMÁTICAS A „

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Números reales
1. Los números reales

REPRESENTACIÓN DE
NÚMEROS IRRACIONALES

Númerosirracionales
En la quincena anterior has visto que los números
racionales pueden escribirse en forma decimal,
produciendo siempre un decimal exacto o periódico.
También hemos visto que todo decimal periódico
puede escribirse en forma de fracción.
Es fácil comprobar que hay números cuya expresión
decimal no es periódica, por ejemplo:
0,1234567891011121314.....
Estos números no se pueden escribir enforma de
fracción: no son racionales.
Llamamos irracionales a los números cuya parte
decimal no es periódica.

El número

El hecho de que los números irracionales
tengan infinitas cifras decimales que no
se repiten de forma periódica plantea el
problema de cómo representar dichos
números de forma exacta.
Algunos de estos números pueden
representarse de forma exacta. Por
ejemplo:

son representacionesexactas de los
números 1,41421356…; 1,61803398…;
1,709975947… respectivamente (los
puntos suspensivos indican que no hay
un final).
En cambio, otros números irracionales
no pueden expresarse en forma exacta.
Por ejemplo, el cociente entre la
longitud de una circunferencia y su
diámetro es una cantidad constante que
es irracional pero no puede ser descrito
en una forma sencilla como los númerosanteriores.
Para representar estos números de
forma exacta les ponemos un nombre.
En este caso se trata del número pi: ∏.
Para hacer cálculos con estos números
usamos un valor aproximado.

es irracional (ampliación)

¿Cómo puede saberse si un número es irracional? No hay una técnica general pero en algunos casos puede
usarse una técnica de demostración denominada reducción al absurdo que consiste ensuponer que lo que
se quiere probar es falso y llegar, a partir de esa suposición, a una contradicción. Eso implica que el hecho
inicial no puede ser falso.
Lo que queremos probar es que

no es un número racional. Para ello empezaremos suponiendo que sí lo es.

Por tanto puede escribirse en forma de fracción que podemos convertir en irreducible simplificando todo lo que
se pueda. Así pues,...