RectasyParabolas

Rectas y Parábolas

Prof. Gabriel Rivel Pizarro

Sistemas de coordenadas rectangulares (Plano Cartesiano)

El sistemas de coordenadas rectangulares se representa en un plano, mediante
dos rectas perpendiculares.

-y
Ejemplo Ubique en el plano el punto P(6,3).

Ejemplo:
Ubique en el plano cartesiano los
puntos los puntos A (− 2,3) , B (2,−3) ,
C (2,3) , D (− 2,−3) , E (0,5) , F (5,0 ) , G (4,4 ),
H (− 4,−4 )

Rectas
y = mx + b tal que m ∈  , b ∈ , m es la pendiente de la recta y b es la ordenada
que interseca el eje y.

Ejemplo:
Trace en el plano cartesiano la recta
Interseca al eje y en (0, b) := (0,3)
Interseca al eje x en ( x,0 ) := (3,0 )

(0,3)

y = 3− x,

(3,0)

y = 3− x
0 = 3− x
x=3
Nota: Para trazar una recta, basta con dos puntos.

Pendiente de una recta
Sean P1 ( x1 , y1 ) yP2 ( x 2 , y 2 )
dos puntos de la una recta l
que no es paralela al eje y ,
entonces la pendiente de dicha
recta es
m =

y 2 − y1 Δy
=
x 2 − x1 Δx

Ejemplo:
Determine la pendiente de una recta paralela al eje y .
Se tiene que x 2 = x1 entonces no se define su pendiente.

y2

y1
x1

x2

Ejemplo:

Determine la pendiente de la recta que pasa por los puntos (-2,5) y (8,-5)

m =

5 − −5
10
=
= −1
− 2− 8 − 10

Ejemplo.
De acuerdo con las graficas determine si m > 0, m < 0 o m = 0

m >0

m <0

m =0

Ejemplo.
Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,2) y (3,4)
m=

4−2 2
=
3−0 3

y = mx + b

∴y =

2
x+2
3

2
0+b
3
2=b
2=

Otras formas de representar una recta
1. Ecuación punto y pendiente:
Sea l una recta que pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) con pendiente m , entonces laecuación de la recta es
y − y1 = m ( x − x1 )
Ejemplo.
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por

y −1 =

2
(x − 2)
3

(2,1)

con pendiente

2
3

ax + by = c

1. Forma general

m=

−a
b

y

la intersección con el eje y es

c
.
b

Ejemplo.
Determine la pendiente y su intersección con el eje y de la recta 2 x − 5 y = 8

m=

−2 2
=
−5 5

Corta el eje y :

8
8
=−
5
−5

Teoremas

1. Si la pendiente de l1es m1 y la pendiente de l 2 es m2 entonces l1

l2

⇔ m1 = m2 .

Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta paralela a y = 3x − 2 que pasa por el punto (− 1,3)
La recta tiene pendiente 3 y pasa por (− 1,3)

y − 3 = 3( x + 1)
2. Si la pendiente de l1 es m1 y la pendiente de l 2 es m2 entonces l1 ⊥ l 2
⇔ m1 . m 2 = − 1
Ejemplo.
Encuentre la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,−7 ) y sea
1
19perpendicular a la recta 6 x + 3 y = 4 .
R/ y = x −
2
2

Parábolas
Las parábolas son curvas que representan a las ecuaciones de la forma y
y = ax 2 + bx + c tal que a ∈  − {0} , b ∈  , c ∈ .
Intersección con los ejes
Eje y

En (0, c )

Eje x

En ( x1 ,0 ) y ( x 2 ,0 )
tal que x1 y x 2 son las soluciones de la ecuación ax 2 + bx + c = 0
xi =

−b± Δ
2a

donde Δ = b 2 − 4ac

Concavidad
Si a esmayor que cero entonces
la parábola es cóncava hacia arriba.

Si a es menor que cero entonces
la parábola es cóncava hacia abajo.

Vértice
Es el punto más bajo o más alto de una parábola. Dicho punto es el par ordenado:
⎛ − b 4ac − b 2
⎜⎜
,
4a
⎝ 2a

⎞
⎟⎟ =
⎠

⎛−b −Δ⎞
,
⎜
⎟
⎝ 2a 4a ⎠

Si la parábola es cóncava hacia arriba, entonces el vértice es un mínimo.
Si la parábola es cóncava hacia abajo,entonces el vértice es un máximo.
Eje de simetría
Es la recta vertical x =

−b
2a

Ejemplo
Trace la curva y = x 2 − 4 x − 12
•

Intersección con los ejes
Eje y en (0, c ) = (0,−12)
Eje x

•

a = 1, b = −4, c = −12

en

(x1 ,0) y (x2 ,0) = (− 2,0)

y (6,0)

x 2 − 4 x − 12 = 0
(x + 2)(x − 6) = 0
x1 = − 2 y x 2 = 6

Concavidad
Como a = 1 entonces es cóncava hacia arriba.

•

Vértice

⎛−b −Δ⎞
,
⎜
⎟ =(2,−16 )
⎝ 2a 4a ⎠

− b − −4 4
=
= =2
2a
2.1 2
− Δ − 16 + 4.1. − 12
=
= −16
4a
4.1

Otra forma si se tiene que x = 2 , se sustituye en y = x 2 − 4 x − 12
y = 2 2 − 4.2 − 12
y = −16
• Eje de simetría
Es la recta vertical x = 2

Ejemplo
Determine el punto máximo o mínimo de la parábola y = x 2 − 3 x − 2
Como a = 1 entonces es cóncava hacia arriba
entonces el vértice es un mínimo de la parábola....