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UNIDAD 14

LA INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES

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Problema 1 Interpreta lo que significa el área bajo la curva en cada uno de los siguientes casos:
VELOCIDAD

(km/h)
VELOCIDAD DE UN TREN

v = f (t)

100

• Gráfica 1: Espacio recorrido entre el tiempo 6 horas y el tiempo t0.
6 7 8 9 10 t0 11 (horas)
TIEMPO

50

CAUDAL

(l/min)
CAUDAL DE UN GRIFO QUE VIERTE AGUASOBRE UNA BAÑERA

20

C = f (t)

• Gráfica 2: Volumen de agua recogido en t0 minutos.
10 15 t0 18 (min)
TIEMPO

10

5 FUERZA

(N)

FUERZA EMPLEADA PARA DESPLAZAR UN COCHE

20 F = f (e) 10

• Gráfica 3: Trabajo realizado al desplazar el coche e0 metros.

5

10

15

e0

ESPACIO

(m)

Unidad 14. La integral definida. Aplicaciones

1

Problema 2
CAUDAL

(hm3/día)AGUA CAÍDA EN UN PANTANO (LLUVIA Y RÍOS) DESDE SU INAUGURACIÓN

Interpreta lo que significa el área entre las dos curvas en la siguiente gráfica. Distingue las áreas en azul y en rojo. • Las áreas azules representan la diferencia de volumen entre las pérdidas de agua y el agua caída.
TIEMPO PÉRDIDAS DE AGUA POR EVAPORACIÓN, FILTRACIONES, ETC.

(días)

• Las áreas rojas representan ladiferencia de volumen entre el agua caída y las pérdidas de agua. Problema 3
F

f

F (1) = 2 porque el área bajo f entre 0 y 1 es 2. F (2) = 4 porque el área bajo f entre 0 y 2 es 4. F (5) = 7 porque el área bajo f entre 0 y 5 es 7. Comprueba las afirmaciones anteriores y observa que “cuanto mayor es f (a), más rápidamente crece F (a)”. La solución se encuentra en el mismo ejercicio.

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Problema 4 Dibuja aproximadamente la función “área bajo f ” para cada una de las siguientes funciones: a)

F

f

Unidad 14. La integral definida. Aplicaciones

2

b)
F

f

c)

49 — 2 F f

7

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1. Halla gráficamente las siguientes integrales: a)

∫(
6 2

x + 1 dx 2

)

b)

∫

4 –4

√16 – x 2 dx
x y=—+1 2

a) Es un trapecio cuyas bases miden 2 y4 y cuya altura mide 4. Área = 2+4 · 4 = 12 u2 2

4 2 4

b) y = √16 – x 2

⇒ y 2 = 16 – x 2 ⇒ x 2 + y 2 = 4 2 (Circunferencia)
4 3 2 1 — y = √16 – x 2

El recinto cuya área queremos calcular es medio círculo de radio 4 u. Área = = 1 1 · π · r2 = · π · 42 = 2 2 16 · π = 8 · π = 25,1 u2 2 3

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

Unidad 14. La integral definida. Aplicaciones2. Halla gráficamente las siguientes integrales: a)

∫ ∫

4 –4 4

( √16 – x 2 + 4)dx

b)

∫

4

–4

(4 – √16 – x 2 )dx

a)

–4

( √16 – x 2

+ 4) dx =

∫

4

–4

√16 – x 2 dx +

∫

4

4 dx

–4

Llamamos I1 =

∫

4

–4

√16 – x 2 dx e I2 =

∫

4

4 dx.

–4

Resolvemos gráficamente ambas integrales para posteriormente sumar los resultados.I1: y = √16 – x 2 ⇒ y 2 = 16 – x 2 ⇒ x 2 + y 2 = 4 2 (circunferencia)
4 3 2 1 — y = √16 – x 2

El recinto cuya área queremos calcular es medio círculo de radio 4 u. Área = = 1 1 · π · r2 = · π · 42 = 2 2 16 · π = 8 · π = 25,1 u2 2
–4 –3 –2 –1

0 4

1

2

3

4

I2: Se trata de un rectángulo de dimensiones 8 u × 4 u. Por tanto, su área es 32 u2.

y=4 3 2 1

–4

–3

–2

–10

1

2

3

4

Finalmente, I1 + I2 = 25,1 + 32 = 57,1 u2. b)

∫

4

–4

(4 – √16 – x 2 ) dx = ∫

4

4 dx –

–4

∫

4

–4

√16 – x 2 dx

Observamos que se trata de las mismas integrales que en el apartado a), solo que ahora es I2 – I1, dando como resultado 32 – 25,1 = 6,9 u2.

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1. Sea la función: F (x) = F (x) =

∫ log (t
0

x

2

∫ + 4)dt= ∫

x 0 x

log (t 2 + 4) dt. Calcula F' (x). f (t )dt, siendo f (t ) = log (t 2 + 4) continua.

0

Por el teorema fundamental del cálculo: F' (x) = f (x) = log (x 2 + 4)
Unidad 14. La integral definida. Aplicaciones

4

2. Calcula la siguiente integral:

∫ ∫

π/2 0

∫
0

π/2 0

cos x dx π – sen 0 = 1 – 0 = 1 2

cos x dx = [ sen x ] = sen

π/2

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1....