Redes resistivas infinitas

Redes resistivas infinitas
Autores
Elizabeth Aballay
elizabethaballay@hotmail.com

Eduardo Avilés
dagored@sion.com

Laboratorio de Física II - 2° Año - Universidad Favaloro –septiembre 2002

Resumen
En este trabajo se calcula la resistencia entre dos nodos arbitrarios de una red cuadrada infinita de
[1]
resistencias idénticas. El método se basa en el trabajo deAtkinson y van Steenwijk para este tipo de redes y
otras con forma triangular y hexagonal.

Introducción
Consideremos una red cuadrada infinita formada por resistores iguales, donde (n, p) esel nodo que está n
unidades horizontales y p verticales de un nodo de referencia. Suponemos que la corriente de Inp amperes puede
entrar al nodo (n, p) desde una fuente fuera de la red (verfigura 1).
Si el potencial en este nodo se denota por Vnp, tenemos, por una combinación de las leyes de Ohm y de
Kirchoff,

In,p = (Vn,p − Vn+1,p ) + (Vn,p − Vn−1,p ) + (Vn,p − Vn,p+1 ) +(Vn,p − Vn,p−1 )

In,p = 4 Vn,p − Vn+1,p − Vn−1,p − Vn,p+1 − Vn,p−1,
donde, sin pérdida esencial de generalidad, tomamos cada resistor con un valor de 1 ohm. En general, se puede
inyectaruna corriente en cada nodo desde el exterior.
Buscaremos una representación integral para el potencial en el nodo (n,p) de la forma
2π

Vn,p = ∫ F(β )υn,p (β )dβ,
0

con

υn,p (β ) = ei n α +ipβ

,

(1)

donde α es una función de β que se especificará en breve. La representación es una transformada de Fourier
(modificada): la razón para los signos de módulo paran estará clara dentro de poco.
Para n>0, tenemos

[

4υn,p (β ) − υn+1,p (β ) − υn−1,p (β ) − υn,p+1 (β ) − υn,p−1 (β ) = e inα +ipβ 4 − e −iα − e iα − e −iβ − e − iβ
= 2e inα +ipβ [2 −cos α − cos β].

]

Ahora pedimos que α sea tal que

cos α + cos β = 2

(2)

para que la combinación de υs desaparezca. Similarmente, encontramos los ceros para esta combinación si...