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Capítulo III: Cálculo diferencial
Los orígenes del Cálculo estuvieron motivados por el deseo de resolver diversos problemas vinculados al movimiento de los cuerpos, así como problemas de cálculo de valores máximos y mínimos de una función dada y de cómo calcular la tangente a una cuva en un punto de de la misma. Este último problema se presentaba con frecuencia en mecánica y en óptica. Aúnpareciendo hechos no relacionados entre sí pronto se demostró estar íntimamente ligados. Fermat, en el siglo XVII, tratando de determinar los máximos y mínimos de ciertas funciones, observó que si la gráca de dichas funciones, en un determinado punto, tiene asociada una recta tangente horizontal, dicho punto es un candidato a máximo o mínimo. La estrategia usada primero por Fermat y más tarde porNewton para calcular la tangente fue aproximar ésta por sucesivas rectas secantes cuyas pendientes pueden calcularse directamente como cocientes. Así pues la pendiente de la recta tangente no es más que el límite de un determindo cociente esto es, la derivada en dicho punto. Con respecto al estudio de la velocidad de un móvil siguiendo una trayectoria de una línea recta, diremos que si la función quedescribe el movimiento en función del tiempo es la función f : [0, T ] −→ R, es sabido que la velocidad media desarrollada por el móvil en el intervalo de tiempo [a, x], con a, x ∈ [0, T ] se obtiene realizando el siguiente cociente:

f (x) − f (a) . x−a
Así pues si quiero calcular la velocidad en el instante a bastará tomar valores x cada vez más cercanos al propio a, de hecho el valor buscadose encontrará tomando el límite cuando x tiende hacia a en dicho cociente. Este límite no es otra cosa que el valor de la derivada en dicho punto. En general, este concepto se muestra especialmente útil para el estudio de la variación de cualquier función. Estos hechos serán tratados en este capítulo, donde haremos también el estudio de los extremos para campos escalares.

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Índice general1. 2. 3. Cálculo diferencial
3.1. Funciones derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Derivada. Recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Propiedades de las funciones derivables. . . . . . . . . 3.1.5. Relación de ejercicios . . . . .. . . . . . . . . . . . . Extremos relativos. Polinomio de Taylor. . . . . . . . . . . . 3.2.1. Extremos relativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Extremos relativos y derivabilidad . . . . . . . . . . 3.2.3. Derivadas sucesivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5. Desarrollo en serie de Taylor . . . . . . . . . .. . . . 3.2.6. Funciones convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.7. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . Derivadas parciales. Plano Tangente . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Reducción al caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.4. Vector gradiente, matriz jacobiana . . . . . . . . . . 3.3.5. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.6. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Derivada de un campo vectorial. . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Relación entre la diferencial y las derivadas parciales 3.4.3. Vectortangente a una curva . . . . . . . . . . . . . 3.4.4. Curvas y supercies dadas en forma implícita . . . . 3.4.5. Relación de ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo de extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Extremos relativos de un campo escalar . . . . . . . . 3.5.2. Extremos relativos y derivabilidad . . . . . . . . . . 3.5.3. Derivadas parciales de orden superior...