Regresión Lineal

Tema 3

Modelo de Regresi´n Lineal M´ltiple
o
u
Contenido
3.1. Introducci´n. Un ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

52

3.2. Estimaci´n de M´
o
ınimos Cuadrados Ordinarios utilizando Gretl .

54

3.3. An´lisis de los resultados mostrados . . . . . . . . . . . . . . . .
a

55

3.3.1. Coeficientes estimados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.3.2. Desviaciones t´
ıpicas e intervalos de confianza . . . . . . . . . . 61
3.3.3. Significatividad individual y conjunta . . . . . . . . . . . . . . . 64
Contrastes de significatividad individual . . . . . . . . . . . . . 64
Contraste de significaci´n conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . 66
o
3.4. Bondad de ajuste y selecci´n de modelos . . . . . . . . . . . . .
o

69

Tema 3. Modelode Regresi´n Lineal M´ltiple
o
u

52

3.1.

Introducci´n. Un ejemplo
o

En este tema consideramos introducir en el modelo de regresi´n, adem´s del t´rmino conso
a
e
tante, m´s de una variable explicativa por lo que pasamos del llamado modelo de regresi´n
a
o
lineal simple al modelo de regresi´n lineal m´ltiple.
o
u
Comenzamos con el ejemplo que se ha seguido en el tema sobre elModelo de Regresi´n
o
Lineal Simple. El precio de una casa, en miles de d´lares, (P) era la variable dependiente
o
y las variables explicativas eran el t´rmino constante y el tama˜o de la casa o el n´mero
e
n
u
de pies cuadrados del ´rea habitable (F2). Ampliaremos el modelo incluyendo dos variables
a
explicativas m´s, el n´mero de habitaciones (BEDRMS) y el n´mero de ba˜os (BATHS)
a
uu
n
siendo el modelo de regresi´n lineal m´ltiple1
o
u
Pi = β1 + β2 F 2i + β3 BEDRM Si + β4 BAT HSi + ui

i = 1, 2, . . . , N

(3.1)

El modelo de regresi´n lineal general (MRLG), con K variables explicativas
o
Yi = β1 + β2 X2i + . . . + βK XKi + ui

i = 1, 2, . . . , N.

(3.2)

se puede escribir en notaci´n matricial:
o
Y
(N ×1)

=

X

β

(N ×K ) (K ×1)

+

u(N ×1)

donde cada uno de los elementos se definen:



1 X11 X21 · · · XK 1
Y1
 1 X12 X22 · · · XK 2
 Y2 



Y = .  X= .
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1 X1N X2N · · · XKN
YN









 β=



β1
β2
.
.
.
βK









 u=



u1
u2
.
.
.
uN







Por el momento, seguimos suponiendo lasmismas hip´tesis b´sicas sobre el t´rmino de pero
a
e
turbaci´n y sobre las variables explicativas o regresores, a saber:
o
i) E (ui ) = 0

∀ i,

E (u2 ) = σ 2
i

∀ i,

E (ui uj ) = 0 ∀i = j .

ii) La perturbaci´n sigue una distribuci´n normal.
o
o
iii) Las variables X2 a Xk no son estoc´sticas. Esto quiere decir que en muestras repetidas
a
de N observaciones de Yi , X2i , . .. , Xki , las variables X2i , . . . , Xki , i = 1, . . . , N tomar´
ıan
siempre los mismos valores. Este supuesto, junto a E (ui ) = 0, implica que los regresores
y el t´rmino de perturbaci´n est´n incorrelacionados.
e
o
a
iv) Los regresores son linealmente independientes, esto quiere decir que el rango de la
matriz de datos de los regresores X es K tal que no tiene columnas repetidas niunas
son combinaciones lineales de otras.
v) Adem´s se supone que se dispone de un n´mero suficiente de observaciones para estimar
a
u
los par´metros βj , j = 1, . . . , K , esto es K < N .
a
1

Dado que seguimos con los mismos datos de secci´n cruzada utilizamos el sub´
o
ındice i = 1, . . . , N . La
notaci´n para datos de series temporales suele ser t = 1, . . . , T .
o

An´lisisde regresi´n con Gretl
a
o

53

Interpretaci´n de cada uno de los coeficientes de regresi´n:
o
o
• Los par´metros βj , j = 2, . . . , K :
a
Manteniendo constante el valor del resto de variables explicativas, si Xji
cambia en una unidad, Yi se espera que cambie en media βj unidades.
• El par´metro β1 que acompa˜a al t´rmino constante recoge el valor esperado de la
a
n
e
variable...