Regresion lineal

Universidad Nacional Autónoma de México
Colegio de Ciencias y Humanidades
Regresión lineal
Estadística y Probabilidad
Grupo: 582






Introducción
El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura de padres e hijos, donde resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio, tendían aigualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a la estatura media; es decir, "regresaban" al promedio. La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificación teórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de técnicas de regresión, que emplean modelos basados encualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad, mucho más ágiles y con un soporte teórico mucho más extenso por parte de la matemática y la estadística.
Pero bien, como se ha dicho, podemos usar el término lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase de aplicación.
¿Qué es la regresión lineal?
En estadística la regresiónlineal o ajuste lineal es unmétodo matemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un términoaleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: variable dependiente, explicada o regresando.
: variables explicativas, independientes o regresores.
: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.donde  es la intersección o término "constante", las  son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y  es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.
¿Para qué sirven?
Con las regresiones lineales se encuentra de que manera están linealmente correladas dos variables, con ello podemosdibujarlas en una gráfica bidimensional, pero no sólo eso, la aplicación más interesante sucede si se hace un experimento y se quiere conocer el valor de una constante por ejemplo. 
Imagínate, sabrás que c=h*f,¿no?, c es la velocidad de la luz y f la frecuencia, si con un espectrómetro midiéramos la frecuencia de distintas funciones de onda y la velocidad de la luz asociada varias veces, nos saldría unarelación lineal, si hacemos una regresión lineal, y=a*x+b, y=c;x=f , b saldrá cercano a 0, y b te saldrá un valor, que será precisamente "h", que por cierto es la famosa constante de Planck. 
Es sólo un ejemplo, las aplicaciones son innumerables

Formulas
Consiste en determinar los valores de "a" y "b " a partir de la muestra, es decir, encontrar los valores de a y b con los datos observadosde la muestra. El método de estimación es el de Mínimos Cuadrados, mediante el cual se obtiene:


Luego, la ecuación de regresión muestral estimada es

Que se interpreta como:
a es el estimador de a
Es el valor estimado de la variable Y cuando la variable X = 0
b es el estimador de b , es el coeficiente de regresión
Está expresado en las mismas unidades de Y por cada unidad de X. Indicael número de unidades en que varía Y cuando se produce un cambio, en una unidad, en X (pendiente de la recta de regresión).
Un valor negativo de b sería interpretado como la magnitud del decremento en Y por cada unidad de aumento en X.
ANTECEDENTES DEL PROBLEMA
Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12 hombres adultos. Para cadaestatura fijada previamente se observó el peso de una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura, resultando:
X
152
155
152
155
157
152
157
165
162
178
183
178
Y
50
61.5
54.5
57.5
63.5
59
61
72
66
72
84
82
Con estos datos vamos a plantear una ecuación de regresión simple que nos permita pronosticar los pesos conociendo las tallas. Utilizaremos a =...