Regresion Lineal

Regresión lineal
de padres e hijos, donde resultó que los hijos cuyos padres tenían una estatura muy superior al valor medio, tendían a igualarse a éste, mientras que aquellos cuyos padres
eran muy bajos tendían a reducir su diferencia respecto a
la estatura media; es decir, “regresaban” al promedio.[2]
La constatación empírica de esta propiedad se vio reforzada más tarde con la justificaciónteórica de ese fenómeno.
El término lineal se emplea para distinguirlo del resto de
técnicas de regresión, que emplean modelos basados en
cualquier clase de función matemática. Los modelos lineales son una explicación simplificada de la realidad,
mucho más ágiles y con un soporte teórico mucho más
extenso por parte de la matemática y la estadística.

Ejemplo de una regresión lineal con unavariable dependiente y
una variable independiente.

Pero bien, como se ha dicho, podemos usar el término
En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un lineal para distinguir modelos basados en cualquier clase
método matemático que modela la relación entre una de aplicación.
variable dependiente Y, las variables independientes Xi y
un término aleatorio ε. Este modelo puede serexpresado
como:

2 El modelo de regresión lineal

Yt = β0 +β1 X1 +β2 X2 +· · ·+βp Xp +ε

El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y
con K variables explicitas Xk (k = 1,...K), o cualquier
Yt : variable dependiente, explicada o regresando.
transformación de éstas que generen un hiperplano de
X1 , X2 , · · · , Xp : variables explicativas, independientes parámetros βk desconocidos:o regresores.
∑
(2) Y = βk Xk + ε
β , β , β , · · · , β : parámetros, miden la influencia que
0

1

2

p

las variables explicativas tienen sobre el regresando.
donde ε es la perturbación aleatoria que recoge todos
aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la que
confiere al modelo su carácter estocástico. En el casomás
sencillo, con una sola variable explicita, el hiperplano es
una recta:

donde β0 es la intersección o término “constante”, las
βi (i > 0) son los parámetros respectivos a cada variable
independiente, y p es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión
lineal puede ser contrastada con la regresión no lineal.

1

(3) Y = β1 + β2 X2 + εHistoria

El problema de la regresión consiste en elegir unos valores
determinados para los parámetros desconocidos βk , de
modo que la ecuación quede completamente especificada.
Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En
una observación i-ésima (i= 1,... I) cualquiera, se registra
el comportamiento simultáneo de la variable dependiente
y las variables explicitas (las perturbacionesaleatorias se
suponen no observables).

La primera forma de regresión lineal documentada fue el
método de los mínimos cuadrados que fue publicada por
Legendre en 1805,[1] y en dónde se incluía una versión
del teorema de Gauss-Márkov.

1.1

Etimología

El término regresión se utilizó por primera vez en el estudio de variables antropométricas: al comparar la estatura

(4) Yi =
1

∑βk Xki + εi

2

5 TIPOS DE MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL

Los valores escogidos como estimadores de los parámetros βˆk , son los coeficientes de regresión sin que se pueda
garantizar que coincida n con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en
(5) Yi =

∑ ˆ
βk Xki + εˆi

Los valores εˆi son por su parte estimaciones o errores de
la perturbación aleatoria.

3

2. Quelos errores en la medición de las variables explicativas sean independientes entre sí.
3. Que los errores tengan varianza constante.
(Homocedasticidad)
4. Que los errores tengan una esperanza matemática
igual a cero (los errores de una misma magnitud y
distinto signo son equiprobables).
5. Que el error total sea la suma de todos los errores.

Hipótesis del modelo de regresión 5 Tipos de...