Regresion No Lineal

Regresión no lineal

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Regresión no lineal
En estadística, la regresión no lineal es un problema de inferencia para un modelo tipo: basado en datos multidimensionales , , donde es alguna función no lineal respecto a algunos parámetros

desconocidos θ. Como mínimo, se pretende obtener los valores de los parámetros asociados con la mejor curva de ajuste (habitualmente, con el método de losmínimos cuadrados). Con el fin de determinar si el modelo es adecuado, puede ser necesario utilizar conceptos de inferencia estadística tales como intervalos de confianza para los parámetros así como pruebas de bondad de ajuste. El objetivo de la regresión no lineal se puede clarificar al considerar el caso de la regresión polinomial, la cual es mejor no tratar como un caso de regresión no lineal.Cuando la función toma la forma:

la función

es no lineal en función de

pero lineal en función de los parámetros desconocidos

,

,y

. Este

es el sentido del término "lineal" en el contexto de la regresión estadística. Los procedimientos computacionales para la regresión polinomial son procedimientos de regresión lineal (múltiple), en este caso con dos variables predictoras y .Sin embargo, en ocasiones se sugiere que la regresión no lineal es necesaria para ajustar polinomios. Las consecuencias prácticas de esta mala interpretación conducen a que un procedimiento de optimización no lineal sea usado cuando en realidad hay una solución disponible en términos de regresión lineal. Paquetes (software) estadísticos consideran, por lo general, más alternativas de regresiónlineal que de regresión no lineal en sus procedimientos.

General
Linealización
Algunos problemas de regresión no lineal pueden linealizarse mediante una transformación en la formulación del modelo. Por ejemplo, consideremos el problema de regresión no lineal (ignorando el término de error):

Aplicando logaritmos a ambos lados de la ecuación, se obtiene:

lo cual sugiere una estimación de losparámetros desconocidos a través de un modelo de regresión lineal de ln(y) con respecto a x, un calculo que no requiere procedimientos de optimización iterativa. De todas formas, la linealización debe usarse con cuidado ya que la influencia de los datos en el modelo cambia, así como la estructura del error del modelo y la interpretación e inferencia de los resultados. Estos pueden ser resultadosno muy convenientes. Hay que distinguir entre la "linealización" usada en los párrafos anteriores y la "linealización local" que se adopta para algoritmos clásicos como el de Gauss-Newton. De igual forma, la metodología de modelos lineales generalizados no use linealización para la estimación de parámetros.

Mínimos cuadrados ordinarios y ponderados
La mejor curva de ajuste se considera comoaquella que minimiza la suma de las desviaciones (residuales) al cuadrado (SRC). Este es la aproximación por el método de mínimos cuadrados (MMC). Sin embargo, en aquellos casos donde se tienen diferentes varianzas de error para diferentes errores, es necesario minimizar la suma de los residuales al cuadrado ponderados (SRCP) (método de mínimos cuadrados ponderados). En la práctica, la varianzapuede depender del valor promedio ajustado. Así que los pesos son recalculados para cada iteración en un algoritmo de mínimos cuadrados ponderados iterativo.

Regresión no lineal En general, no hay una expresión de forma cerrada para los parámetros de mejor ajuste, como sucede en el caso de la regresión lineal. Métodos numéricos de optimización son aplicados con el fin de determinar los parámetrosde mejor ajuste. Otra vez, en contraste con la regresión lineal, podría haber varios máximos locales de la función a ser optimizada. En la práctica, se suponen algunos valores iniciales los cuales junto con el algoritmo de optimización conducen a encontrar el máximo global.

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Estimación de los parámetros usando Métodos de Montecarlo
Si el error de cada observación es conocido, entonces la...