Rel1314

EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Espacios vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
1. Determina cu´ales de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales. Para aquellos
que lo sean, halla una base.
(a) S = {~x 2 R3 |~x = ( , 2 ,

) 2 R3 }

(b) T = {(x, y) 2 R2 |x2 + y = 0}

(c) R = {x, y, z) 2 R3 |x = 0, y = 2t

,z = t + }

3

(d) P = {(x1 , x2 , x3 ) 2 R |x1 = 2x2 + x3 }
(e) Q = {(x1 , x2 ) 2 R2 |x1x2 = 1}

2. Calcula la dimensi´on del subespacio U generado por los vectores (1, a, 1), (1, 1, 1) y (0, 0, a)
seg´
un los valores de a. Calcula las ecuaciones param´etricas y cartesianas de U para los
valores de a para los que la dimensi´on de U es igual a 2.
3. Prueba que los vectores (2, 5, 3), (0, 1, 1) engendran el mismo subespacio que los vectores (4, 9, 5), (2, 7, 5). Expresa tres basesdistintas de este subespacio.
4. Halla las inversas de las siguientes matrices mediante transformaciones elementales.
✓
5. Dado el sistema

5
1

8
1

◆

0

0 1
@ 1 1
2 3

1
1
1 A
0

8
x1 2x2 + 2x3 + x4
>
>
<
x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4
2x1 x2
>
>
:
3x1 + 3x2 2x3 + x4

=0
=4
= 2
= 2

(a) Resuelvelo mediante escalonamiento Gauss-Jordan. Halla una base del subespacio
de sus soluciones.
(b) Expresa, si esposible, la cuarta ecuaci´on v4 , como combinaci´on lineal de las otras
tres, v1 , v2 , v3 .
6. Analiza para qu´e valores reales de a el siguiente sistema tiene soluci´on y resu´elvelos usando
el m´etodo de eliminaci´on de Gauss.
8
x1 + x2 + x3 = 1
<
2x1 + 2x2 + (1 a2 )x3 = 2a
:
x1 + x2 + a2 x3 = 1
2

7. Estudia la compatibilidad del sistema seg´
un los valores que toman a y b:
8
< x1 4x2 + 3x3 = a
x1+ 2x2 + 7x3 = b
:
2x1 2x2 + 10x3 = 0
8. Dados los subespacios vectoriales U y V de R3
U ⌘ x1

2x2 + x3 = 0,

8
< x1 = 2t
x2 = t
V ⌘
:
x3 = 3

Calcula las ecuaciones param´etricas y cartesianas, una base y la dimensi´on de los subespacios U + V y U \ V .
9. Dados los subespacios U y V de R4
U = {< (1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (0, 1, 2, 1) >}
V = {x1 , x2 , x3 , x4 ) 2 R4 | x1

x3

x4 = 0, x2 + x3 =0}

Da unas bases y calcula las ecuaciones cartesianas y param´etricas de U , V , U +V y U \V .

3

2. Aplicaciones lineales. Diagonalizaci´
on de endomorfismos.
1. Determina si las siguientes aplicaciones son o no lineales.
(a) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , 2x1
(b) f (x1 , x2 , x3 ) = (x21

x2 )

x22 , 2x3 , 0)

(c) f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 + 2, x1 + x2 )
(d) f (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , 0,x1 x2 )
2. Dada la aplicaci´on lineal f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 2x2

4x3 , 2x1 + 3x2 + x3 )

(a) Calcula la matriz A de f respecto a las bases can´onicas.
(b) Calcula las ecuaciones cartesianas si las hubiera y param´etricas del n´
ucleo y de la
imagen de f . Indicar si f es entonces inyectiva, sobreyectiva o biyectiva.
(c) Buscar la relaci´on entre la matriz A y aquella otra B de f que est´aexpresada respecto
a las bases {1, 1, 0), ( 2, 0, 1), (0, 0, 2)}, {( 1, 0), ( 2, 1)}
3. La matriz de la transformaci´
on◆lineal en R2 expresada respecto a las bases {(3, 1), (1, 1)}
✓
2 0
y {(0, 2), ( 1, 1)} es
, Determina matricialmente cual ser´ıa la matriz respecto
0 1
a las bases can´onicas.
4. Dada la aplicaci´on lineal f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + x2 + x3 , x1 + x2 , x3 )
(a) Halla las ecuacionesparam´etricas y cartesianas del N´
ucleo y de la Imagen de f y
clasif´ıcala.
(b) Halla una base de f (V ) siendo V el subespacio cuya ecuaci´on cartesiana es x3 = 0
(c) Halla las coordenadas de f (2, 3, 0) en la base de f (V ) obtenida anteriormente.
(d) determina f

1

(3, 2, 1)

5. Sabiendo que la aplicaci´on lineal f tiene a ( 2, 0) como autovector asociado al autovalor
= 2 y que el vector (0, 5)pertenece a Kerf . Calcula la f´ormula de f .
✓
◆
1 2
6. Diagonalizar la matriz A =
, dando la matriz de paso, la base de vectores propios
3 2
y la relaci´on entre la matriz dada y la diagonal. Calcular A3 .
7. Estudiar para qu´e valores del par´ametro a es diagonalizable el siguiente endomorfismo
f : R3 ! R3 , donde f (x, y, z) = (x, ax + y, x + y + 2z)

4

0

1
1 0 0
8. Se considera la...