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Relaciones entre conjuntos

Relaciones
Una relación en un conjunto es un subconjunto del producto cartesiano AxA.
Propiedades de una relación.
1) Una relación se dice reflexiva si todo elemento esta relacionado con él mismo.
2) Se dice simétrica si siempre que a esté relacionado con b, b también está relacionado con a.
3) Se dice anti simétrica si no puedehaber dos elementos distintos de forma que el primero esté relacionado con el segundo y el segundo también esté relacionado con el primero.
4) Se dice transitiva si siempre que a este relacionado con b y b esté relacionado con c, a debe estar relacionado con c.
Relaciones entre conjuntos
Parejas ordenadas
El orden de los elementos en un conjunto de dos elementos no interesa, por ejemplo:
{3,5} = {5, 3}
Por otra parte, una pareja ordenada consiste en dos elementos, de los cuales uno designa el primer elemento, y el otro, el segundo. Tal pareja ordenada se escribe (a, b), en donde a es el primer elemento y b es el segundo. Dos parejas ordenadas (a, b) y (c, d) son iguales si y solamente si a = c y b = d.
Producto cartesiano
Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjuntode todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈ B se llama producto o producto cartesiano de A y B.
La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos.
Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundoelemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}
El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.
Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.
EJEMPLO
Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}Relación binaria
La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A.
EJEMPLO
Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A.
Propiedades de una relación binaria
Las principales propiedades que puede presentar unarelación binaria R definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.
Propiedad
1. Reflexiva ∇ a ∈ A, a R a
2. Anti reflexiva ∇ a ∈ A, a R a
3. Simétrica ∇ a, b ∈ A, a R b ⇒ b R a
4. Anti simétrica en sentido amplio ∇ a, b ∈ A, ( a R b y b R a) ⇒ a = b
5. Anti simétrica en sentido estricto ∇ a, b ∈ A, a R b⇒ b R a
6. Transitiva ∇ a, b, c ∈ A, (a R b y b R c) ⇒ a R c

Relación de equivalencia
Una relación binaria R es una relación de equivalencia definida en un conjunto A, si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Así, en el plano euclídeo considerando el conjunto de todas las rectas, la relación R “ser paralela a” es una relación de equivalencia. Comprobémoslo:a) Reflexiva: a || a, puesto que cualquier recta es paralela a sí misma.
b) Simétrica: si a || b, entonces b || a.
c) Transitiva: si a || b y b || c, entonces a || c.
Luego por cumplir las tres propiedades anteriores es una relación de equivalencia.
Clases de equivalencia, conjunto cociente
Dada una relación de equivalencia R definida en un conjunto A, si a ∈ A se llama clase deequivalencia de a y se denota por [ a ], al subconjunto formado por todos los elementos de A relacionados con a por la relación de equivalencia R.
[a] = {x / x ∈ A y x R a}

Propiedades de las clases de equivalencia
a) Ninguna clase equivalencia es vacía. Porque a cualquier clase [ a ] pertenece al menos el elemento a. Simbólicamente: ∇ [ a ] ⊂ A, a ∈ A ⇒ a ∈ [ a ]
b) Las...