Religrion Sctaul
Páginas: 6 (1380 palabras)
Publicado: 13 de mayo de 2013
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal: Solución de la Primera Evaluación
Tema 1: (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su respuesta
a) Si la matriz se obtiene a partir de la matriz por medio de un intercambio de filas, entonces (Verdadero)
Por definición, la matriz es equivalente por renglones a lamatriz si puede reducirse a mediante operaciones elementales de renglón
En este caso la matriz se obtiene por un simple intercambio de las filas (renglones) de , entonces dado que los renglones de y son los mismos excepto que están escritos en un orden diferente
También hay que recordar que
b) Si es una matriz cualquiera, entonces (Falso)
Sea . Sea
De donde obtenemos:c) Sea un espacio vectorial. Sea , entonces (Falso)
Sea . Sea y
y
d) Sea un subespacio del espacio vectorial . Si y , entonces (Falso)
Sea . Sea un subespacio de . Sea
Sea , este vector no pertenece a por no cumplir la condición de que
Por hipótesis sabemos que es un subespacio y por tanto contiene al nulo de y
e) Si es unatransformación lineal, entonces (Falso)
Sea una transformación lineal
Sea
Tema 2: (10 puntos) Sea con las operaciones:
Si es un espacio vectorial, determine:
a) El neutro o cero vectorial de
b) Si , el inverso aditivo de
Este ejercicio se presenta bastante confuso, debido a que la manera en que es planteado da a entender que primero hay que determinar si es unespacio vectorial. Pero no vamos a analizar la validez del ejercicio planteado, sino que vamos a resolver lo que nos piden en cada literal.
a)
Usando el teorema
Usando el axioma
Sea . Sea
El nulo pertenece a porque sus componentes son mayores que
Hay que notar que usando las dos formas de resolución no nos queda el mismo nulo, pero esto se debe al mal planteamiento delproblema. Utilizando ambas alternativas siempre debe quedar la misma respuesta
b)
Usando el teorema
Usando el axioma
La pregunta aquí es con cuál nulo trabajamos. Para este caso debemos usar el obtenido al usar el axioma porque estamos calculando el inverso de la misma manera que ese neutro
Sea . Sea
Ambos inversos pertenecen a por ser sus componentes mayoresque
Con el mismo argumento mencionado al calcular el sabemos que nos debió quedar la misma respuesta.
También se puede notar que no es un espacio vectorial por no cumplirse el siguiente axioma:
M10)
Sea
Tema 3: (20 puntos) Sea . Sean el conjunto de las matrices que tienen la primera y última fila iguales; el conjunto de las matrices que tienen la primera columna igual a susegunda columna; y el conjunto de las matrices tal que ,
Determine.
a) Los conjuntos que son subespacios de
b) La intersección entre los subespacios encontrados en el literal anterior
c) La suma entre los subespacios encontrados en el primer literal
d) Una base para el subespacio intersección y otra para el subespacio suma, obtenidos en (b) y (c), respectivamente.
Para hallar hayque tener en cuenta que su primera y última fila son iguales, por tanto las componentes en dichas filas deben ser correspondientemente iguales, así nos queda que:
Ahora procedemos a determinar si es un subespacio de
1)
Sea y
Como ambos vectores pertenecen a cumplen con la condición del mismo, con lo que tenemos que:
Ahora hay que ver si la suma de ambos cumple lacondición
Por tanto
2)
Sean . Sea
Sabemos que y entonces y
Por tanto
es un subespacio de
El mismo procedimiento vamos a realizar con pero aquí hay que notar que ambas columnas son iguales, por tanto las componentes en dichas columnas deben ser correspondientemente iguales, así nos queda que:
Ahora procedemos a determinar si es un subespacio de
1)...
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal: Solución de la Primera Evaluación
Tema 1: (20 puntos) Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su respuesta
a) Si la matriz se obtiene a partir de la matriz por medio de un intercambio de filas, entonces (Verdadero)
Por definición, la matriz es equivalente por renglones a lamatriz si puede reducirse a mediante operaciones elementales de renglón
En este caso la matriz se obtiene por un simple intercambio de las filas (renglones) de , entonces dado que los renglones de y son los mismos excepto que están escritos en un orden diferente
También hay que recordar que
b) Si es una matriz cualquiera, entonces (Falso)
Sea . Sea
De donde obtenemos:c) Sea un espacio vectorial. Sea , entonces (Falso)
Sea . Sea y
y
d) Sea un subespacio del espacio vectorial . Si y , entonces (Falso)
Sea . Sea un subespacio de . Sea
Sea , este vector no pertenece a por no cumplir la condición de que
Por hipótesis sabemos que es un subespacio y por tanto contiene al nulo de y
e) Si es unatransformación lineal, entonces (Falso)
Sea una transformación lineal
Sea
Tema 2: (10 puntos) Sea con las operaciones:
Si es un espacio vectorial, determine:
a) El neutro o cero vectorial de
b) Si , el inverso aditivo de
Este ejercicio se presenta bastante confuso, debido a que la manera en que es planteado da a entender que primero hay que determinar si es unespacio vectorial. Pero no vamos a analizar la validez del ejercicio planteado, sino que vamos a resolver lo que nos piden en cada literal.
a)
Usando el teorema
Usando el axioma
Sea . Sea
El nulo pertenece a porque sus componentes son mayores que
Hay que notar que usando las dos formas de resolución no nos queda el mismo nulo, pero esto se debe al mal planteamiento delproblema. Utilizando ambas alternativas siempre debe quedar la misma respuesta
b)
Usando el teorema
Usando el axioma
La pregunta aquí es con cuál nulo trabajamos. Para este caso debemos usar el obtenido al usar el axioma porque estamos calculando el inverso de la misma manera que ese neutro
Sea . Sea
Ambos inversos pertenecen a por ser sus componentes mayoresque
Con el mismo argumento mencionado al calcular el sabemos que nos debió quedar la misma respuesta.
También se puede notar que no es un espacio vectorial por no cumplirse el siguiente axioma:
M10)
Sea
Tema 3: (20 puntos) Sea . Sean el conjunto de las matrices que tienen la primera y última fila iguales; el conjunto de las matrices que tienen la primera columna igual a susegunda columna; y el conjunto de las matrices tal que ,
Determine.
a) Los conjuntos que son subespacios de
b) La intersección entre los subespacios encontrados en el literal anterior
c) La suma entre los subespacios encontrados en el primer literal
d) Una base para el subespacio intersección y otra para el subespacio suma, obtenidos en (b) y (c), respectivamente.
Para hallar hayque tener en cuenta que su primera y última fila son iguales, por tanto las componentes en dichas filas deben ser correspondientemente iguales, así nos queda que:
Ahora procedemos a determinar si es un subespacio de
1)
Sea y
Como ambos vectores pertenecen a cumplen con la condición del mismo, con lo que tenemos que:
Ahora hay que ver si la suma de ambos cumple lacondición
Por tanto
2)
Sean . Sea
Sabemos que y entonces y
Por tanto
es un subespacio de
El mismo procedimiento vamos a realizar con pero aquí hay que notar que ambas columnas son iguales, por tanto las componentes en dichas columnas deben ser correspondientemente iguales, así nos queda que:
Ahora procedemos a determinar si es un subespacio de
1)...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.