Reportemn








INSTITUTO TECNOLOGICO DE PINOTEPA





metodos numericos


unidad:
6.3 sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
6.4 aplicaciones


INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES








PRESENTAN:

gerardo cruz cruz n.CONTROL 13730
olemary alberto valdovinos N.CONTROL 13730267
nohemi lopez sosa N.CONTROL 13730160
kevin marin de lossantos N.CONTROL 13730162


ASESOR
ING. ZENON RAMIREZ CAMACHO
Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Fundamentos Matemáticos

Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las ingenierías, debido a que muchas leyes y relaciones físicas se expresan matemáticamente mediante estas relaciones.

Las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones diferenciales:


Lasdos primeras ecuaciones contienen derivadas ordinarias y por la forma en que están escritas vemos que y = f(x); la tercera contiene derivadas parciales y podemos ver que z = f(x, y). El orden de una ecuación diferencial es el máximo orden de las derivadas que contiene

En esta unidad desarrollaremos métodos numéricos para encontrar la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias a partir devalores iniciales.
Un problema de valor inicial consiste en una ecuación diferencial, y en una condición que debe satisfacer la solución (o varias condiciones que se refieren al mismo valor de x, si la ecuación es de orden superior.)

, y0 = y(x0)




Método de Euler

La primera derivada proporciona una aproximación directa a la pendiente en xi

 = f (xi, yi)

donde f(xi, yi) es la ecuacióndiferencial evaluada en (xi, yi)

yi+1 = yi+ f (xi, yi) h

A esta fórmula se le conoce como método de Euler, o método de Euler-Cauchy o de pendiente puntual.

Ejemplo 6.1

Hallar el valor de f(x) en x =2, sí y(0) = 1

Analíticamente







Dado que y(0) = 1, A = 1



Entonces y(2) = 1.947734






Numéricamente

Por el método de Euler, usando h = 0.5, y(0) = 1.

Ecuación del método

yi+1 = yi+ f(xi, yi) h

xi = 0
yi = 1
f (xi, yi) = yi (xi2 - 1)
f (0, 1) = 1 (02 - 1) = -1

yi+1 = 1+ (-1) (0.5) = 0.5
xi+1 = xi+ h = 0 + 0.5 = 0.5

xi = 0.5
yi = 0.5
f (xi, yi) = f (0.5, 0.5) = 0.5 [(0.5)2 – 1]
= -0.375

yi+1 = 0.5 + (-0.375) (0.5) = 0.3125
xi+1 = xi+ h = 0.5 + 0.5 = 1

xi = 1
yi = 0.3125
f (xi, yi) = f (1, 0.3125)
= 0.3125 [(1)2 – 1] = 0

yi+1 = 0.3125 + (0) (0.5) = 0.3125
xi+1 = xi+ h= 1 + 0.5 = 1.5

xi = 1.5
yi = 0.3125
f (xi, yi) = f (1.5, 0.3125)
= 0.3125 [(1.5)2 – 1] = 0.390625

yi+1 = 0.3125 + 0.390625 (0.5)
= 0.5078125
xi+1 = xi+ h = 1.5 + 0.5 = 2


Aplicando el mismo procedimiento para h = 0.25 y h = 0.125 se obtiene
Tabla 6.1 Valores de y para distintos valores de h con Euler
h = 0.5
h = 0.25
h = 0.125
x
y
x
y
x
y
0.0
1.0000
0.00
1.0000
0.000
1.0000




0.1250.8750


0.25
0.7500
0.250
0.7673




0.375
0.6774
0.5
0.5000
0.50
0.5742
0.500
0.6046




0.625
0.5480


0.75
0.4666
0.750
0.5062




0.875
0.4785
1.0
0.3125
1.00
0.4155
1.000
0.4645




1.125
0.4645


1.25
0.4155
1.250
0.4799




1.375
0.5137
1.5
0.3125
1.50
0.4740
1.500
0.5709




1.625
0.6601


1.75
0.6221
1.750
0.7954




1.875
1.0005
2.0
0.5078
2.00
0.9428
2.000
1.3151Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.

Todo sistema de ecuaciones diferenciales puede representarse generalmente como


La solución de este sistema requiere de n condiciones iniciales conocidas para un valor inicial de x.

Una ecuación diferencial de orden superior puede escribirse como un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Escsriba la ecuación diferencialordinaria y(n) = f (x, y, y’, y´´, ..., y(n - 1)) como un sistema de ecuaciones de primer orden haciendo las sustituciones

y1 = y, y2 = y’, ..., yn = y(n - 1)

Entonces:
y´1 = y2
y´2 = y3

y’n = f (x, y1, y2, y3, ..., yn )

es un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias.

Por ejemplo, considere el problema de valor inicial.

y´´´ -3y’’ – y’y = 0 y (0) = 0 y´ (0) = 1 y´´ (0) = -1

Despeje...