Resis1

FLEXION

INTRODUCCION
Las cargas que actúan sobre una viga ocasionan que esta se flexione, es decir su eje se deforma en una curva.

FLEXION PURA
Ahora se estudiará elementos prismáticos sometidos a momentos iguales y opuestos que actúan en el mismo plano longitudinal.

Es decir, el momento es constante y no existe fuerza cortante:
dM V= =0 dx

FLEXION PURA
Casos de Flexión PuraVIGA SIMPLEMENTE APOYADA

VIGA EN VOLADIZO

FLEXION NO UNIFORME
Flexión en presencia de fuerzas cortantes, lo que significa que el momento flexionante cambia a lo largo del eje de la viga.
8 Klb 2 Klb/pie

4 pies V (Klb)

6 pies

4 pies

M (Klb-pie)

FLEXION NO UNIFORME
Viga simple cargada simétricamente: viga parcialmente en flexión pura y parcialmente en flexión no uniforme.HIPOTESIS
Material continuo, homogéneo, isotrópico Material en el rango elástico, se aplica LEY DE HOOKE Las cargas aplicadas actúan en el plano de simetría

DEFORMACION POR FLEXION DE UN ELEMENTO RECT0
La línea recta AB se transforma en un círculo de centro C. AB se acortará mientras A’B’ se alargará

A’

DEFORMACION POR FLEXION DE UN ELEMENTO RECT0

Eje neutro y z Eje neutroSección longitudinal vertical

Sección transversal

La longitud DE es igual a L

L = ρθ

La longitud JK localizado a una distancia “y”

L ' = (ρ − y )θ

DEFORMACION POR FLEXION DE UN ELEMENTO RECT0
La deformación JK es:

δ = L '− L δ = (ρ − y )θ − ρθ = y θ
La deformación longitudinal εx:
y

εx = εx =

δ

L ρθ −y

=

− yθ

ρ

La deformación longitud εx varíalinealmente con la distancia “y” desde la superficie neutra.

DEFORMACION POR FLEXION DE UN ELEMENTO RECT0
La deformación εx alcanza su valor máximo:

εm = ρ=

c

ρ
c

εm

y

Reemplazando en la expresión anterior:
εx = −
y εm c

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
Equivalencia de fuerzas internas:
M
y

∫ σ dA = 0 ∫ z σ dA = 0 ∫ ( − y σ dA ) = M
x x x
X

z

σX

Teniendo en cuentaque se cumple la LEY DE HOOKE y multiplicando la expresión anterior por E: y Eε x = − Eε m
c

σ

x

= −

y σ c

m

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
Para conocer la posición del EJE NEUTRO:
M
y

∫ σ dA = 0 σ  y  − σ  dA = − ∫ c  ∫ ydA = 0 c  ∫ ydA = 0
x m m
X

z

σX

El EJE NEUTRO pasa por el CENTROIDE DE LA SECCION

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
∫ (− yσ dA ) = M (− y ) − yσ  dA = M  ∫  c  
x m

σm σm
c c

∫

y 2 dA = M

I =M

Mc I My σx = − I

σm =

ECUACION DE LA FLEXION ELASTICA

ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

FLEXION DE ELEMENTOS DE VARIOS MATERIALES
Si el elemento sometido a flexión pura está hecho de varios materiales con distintos módulos de elasticidad, la aproximación para determinar los esfuerzos debe cambiar.
10cm

t=0.625cmt 8cm

10cm 15cm

FLEXION DE ELEMENTOS DE VARIOS MATERIALES
La deformación ε varía linealmente con la distancia “y” al eje neutro
ε= y/ρ 1 EN 2

σ1= E1 y/ρ

σ2= E2 y/ρ

σx

Distribución de Deformaciones

Distribución de Esfuerzos

FLEXION DE ELEMENTOS DE VARIOS MATERIALES
No se puede suponer que el EN pasa por el centroide de la sección compuesta:
ε= y/ρ 1 EN 2

σ1= E1 y/ρσ2= E2 y/ρ

σx

Distribución de Deformaciones

Distribución de Esfuerzos

FLEXION DE ELEMENTOS DE VARIOS MATERIALES
Como los módulos de elasticidad, E, de los elementos son diferentes, entonces los esfuerzos normales, σ también son diferentes:
ε= y/ρ 1 EN 2

σ1= E1 y/ρ

σ2= E2 y/ρ

σx

Distribución de Deformaciones

Distribución de Esfuerzos

FLEXION DE ELEMENTOS DEVARIOS MATERIALES
La fuerza dF1 ejercida sobre un elemento de área dA de la porción superior es:

dF1 = σ 1 dA = −

E1 y

ρ

dA

La fuerza dF2 ejercida sobre un elemento de la misma área dA de la porción inferior es:

dF2 = σ 2 dA = −
Llamando n la relación E2/E1

E2 y

ρ

dA

dF2 = σ 2

(nE )y dA = − E y (ndA) dA = −
ρ
1

ρ

1

FLEXION DE ELEMENTOS DE VARIOS...