RESPUESTA EN ESTADO ESTABLE Y TRANSISTORIO

RESPUESTA EN ESTADO ESTABLE Y TRANSISTORIO

Cuando el sistema en estudio está representado por ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas, la función de transferencia resulta ser una razón de polinomios; esto es:

donde a(s) y b(s) son polinomios en s. Para sistemas físicamente reales el orden del polinomio denominador a(s) siempre es mayor o igual al orden del numerador b(s), por razonesde causalidad.
Denominamos polos de G(s), a aquellos lugares del plano complejo s, en donde la función de transferencia G(s) se hace infinita, o sea donde a(s) = 0 (las raíces del polinomio denominador a(s)).
Denominan ceros de G(s), a aquellos lugares del plano complejo s, en donde la función de transferencia G(s) se hace cero, o sea donde b(s)=0 (las raíces del polinomio numerador b(s)).
Lospolos y ceros describen completamente a G(s), excepto por un multiplicador constante, esto significa que las funciones G(s) las podemos representar directamente en el plano s.
Ya que la respuesta de un sistema a un impulso está dada por su función de transferencia, a dicha respuesta se la denomina respuesta natural del sistema. Podemos usar los polos y ceros para determinar la respuesta temporal yasí identificar la forma de la respuestas temporales con las ubicaciones correspondientes de los polos y ceros de la función de transferencia.
Tomemos por ejemplo la siguiente función de transferencia:

Separando en fracciones simples:

Utilizando la tabla de transformadas de Laplace, obtenemos la respuesta natural del sistema del ejemplo:

Del ejemplo, podemos extendernos al caso general depolos en el eje real, observando que la ubicación de los polos dan los coeficientes de las exponenciales, y que los ceros afectan solo en la magnitud de la amplitud de la respuesta.
Para el caso de raíces complejas conjugadas obtenemos una conclusión similar: los polos determinan la forma de la respuesta temporal.
Dada la función de transferencia:

Separando en fracciones simples:

Utilizando latabla de transformadas de Laplace:

Como vemos, la respuesta natural a un par de polos complejos conjugados es una sinusoide amortiguada por una exponencial. Tanto la exponencial, como la frecuencia de la sinusoide depende solo de los polos.
 
En la figura 1 esquematizamos las respuestas naturales de los sistemas dependiendo de la ubicación de los polos.

Figura 1. Respuestas temporales asociadas conlos respectivos polos en el plano s.
Los polos complejos conjugados los podemos definir en términos de sus partes real e imaginaria, tradicionalmente:

Ya que los polos complejos vienen de a pares, el denominador correspondiente al par de complejos es:

Cuando encontramos la función de transferencia a partir de ecuaciones diferenciales, típicamente podemos escribir el resultado en la formapolinomial:

Figura 2. Parámetros de los polos complejos.

Comparando las dos últimas ecuaciones, encontramos la relación entre los parámetros:
      y

A  la conocemos como coeficiente de amortiguamiento, y a n como frecuencia natural no-amortiguada.
En la figura 2 observamos el significado gráfico de cada uno de estos parámetros.
Podemos observar (ver la figura 3) que cuando el coeficiente deamortiguamiento  es cercano a cero las respuestas del sistema son oscilatorias, mientras que cada vez que el mismo se acerca a 1 es mayor el amortiguamiento de las oscilaciones hasta el punto de no presentarlas.

Figura 3. Respuestas a un escalón para un sistema de segundo orden, para distintos
valores del coeficiente de amortiguamiento ( = 0.0, 0.1, 0.2,... , 1.0).
Especificaciones en el dominiotemporal
Las especificaciones para el diseño de un sistema de control frecuentemente involucran ciertos requerimientos asociados a la respuesta temporal del sistema. Los requerimientos para una respuesta a un escalón los expresamos en términos de valores estandar ilustrados en la figura 4:
Tiempo de crecimiento (rise time) tr es el tiempo que toma el sistema para alcanzar la vecindad de su nuevo...