RespuestaTemporal

Respuesta en el Tiempo
Sistemas de Primer Orden (Función de Transferencia)

Objetivos


Clasificar los sistemas de control con respecto a la ecuación
diferencial de orden n que los define.



Determinar las características de la respuesta de los sistemas, tanto
en lazo abierto como en lazo cerrado.



Estudiar la aproximación de la función de transferencia de un
sistema a partir de surespuesta real al escalón.

POLOS Y CEROS


Recordemos: La respuesta de un sistema es la suma de
dos respuestas:








Respuesta Forzada (Debido a la entrada)
Respuesta Natural (Homogenea)

Forma clásica para resolver las ecuaciones diferenciales
es aplicar la transformada inversa de Laplace
Sin embargo es más eficiente utilizar técnicas que no
consuman tanto tiempo: métodoscuantitativoscualitativos.
El concepto de los polos y los ceros es esencial para el
análisis y diseño de sistemas de control.

Polos y Ceros de la Función de
Transferencia


Los polos son los valores que puede tomar la variable s
de la función de transferencia para volverse infinito.




Las raíces del denominador (incluso si se cancelan con el
numerador) .

Los ceros son los valores que puede tomar la variables
de la función de transferencia para volverse cero.


Las raíces del numerador

Cero: -2

Polos: 0, y -5

Respuesta de Sistemas de Primer Orden


Está definido por una ecuación diferencial de primer
orden.
Respuesta a una entrada
paso:

En el dominio del tiempo:

Sistemas de Primer Orden

Respuesta del Sistema por inspección:



Por inspección ¿cuál es la respuesta de este sistema a unaentrada paso??

Sistemas de Primer Orden


Respuesta del sistema:

1
0.8

¿Cuál es el papel del polo en –a??

0.6
0.4

En general se utiliza un a entrada
paso para determinar las
propiedades temporales del sistema

Amplitud

0.2
0
-0.2
-0.4
Respuesta a una paso
respuesta natural

-0.6
-0.8
-1

0

0.5

1

1.5
Tiempo

2

2.5

3

Constante de Tiempo






Se define como el tiempo necesario para
quela exponencial
decaiga un 37%
(o de forma alternativa la respuesta
alcance el 63%)
El término frecuencia exponencial
aparece a partir de la inversa de la
constante de tiempo.
La constante de tiempo se define como
la inversa del polo

Tiempo de Crecimiento Tr y Tiempo de Asentamiento


Tiempo de Crecimiento: Se define como el tiempo en que
la respuesta cambia del 0.1 a 0.9 de su valor final (odel cambio
entre el valor inicial y valor final)



Tiempo de Asentamiento (estabilización): Es el tiempo
que le toma a la respuesta en alcanzar y mantenerse en el 2%
de su valor final

Valor Final:


El valor final de la respuesta es:



Usualmente se le conoce como ganancia DC

Aproximación de la respuesta


Si se posee la respuesta real del sistema a un escalón (entrada
paso), es posibleobtener la función de transferencia del
sistema:
1.

Constante de Tiempo: Se encuentra el tiempo cuando la respuesta
alcanza el 63% de su valor final. La ganancia se encuentra a partir
del valor final de la respuesta.

2.

Pendiente Aproximada: Se traza una recta con pendiente máxima
al origen de la curva. El cruce entre esta pendiente y el valor final
definen la constante de tiempo.

Aproximacióna una respuesta de primer orden

Afecto del Tiempo Muerto
1
0.9
0.8
Sistema con tiempo muerto
Sistema sin tiempo muerto

0.7

La respuesta es la misma pero se
tarda el tiempo muerto b en aparecer

Amplitud

0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0

0.5

1

1.5

2

2.5
Tiempo

3

3.5

4

4.5

5

Funciones de Transferencia con Ceros
Los ceros en la función de transferencia afecta la amplitud
de la respuestapero no la velocidad del decaimiento de la
exponencial.
2

1.5

1

Derivada de c(t)

c(t) escalado

Amplitud



0.5
Cero -1.9
cero -2.5
cero -4
cero 1
Sin cero

0

Si el cero se encuentra en el
semiplano derecho se denomina:
sistemas de fase no-mínima

-0.5

0

0.5

1

1.5
Tiempo

2

2.5

3

Se verá más efectos en sistemas de
2do orden.

Lazo Abierto vs. Lazo Cerrado

¿Qué sucede con los
polos...