Resumen de calculo

RESUMEN DE CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES.

KEVIN DE JESUS LIZARRALDE BOWIE.

JAIRO MARTELO
PROFESOR DE CÁLCULO
IV Semestre

FUNDACION UNIVERSITARIA TECNOLOGICO COMFENALCO
UNIVERSIDAD DE MEDELLIN
INGENIERIA AMBIENTAL
IV SEMESTRE
2009
Integral múltiple
Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f (x, y) ó f (x, y, z).
Una formarelativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,...,xn) y una región T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y f está definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumensituado entre la superficie definida por x3 = f(x1,x2) y una región T en el plano x1x2 es igual a alguna integral doble, si es que la función f está definida en región T.
Se puede dividir la región T en una partición interior Δ formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenida en T. La norma | | Δ | | de esta partición está dada por la diagonal más larga enlas m subregiones.
Si se toma un punto (x1i,x2i,...,xni) que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones Δx1iΔx2i...Δxni para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por xn + 1 = f(x1,...,xn) y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

Entonces se puede aproximar lamagnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación xn + 1 = f(x1,...,xn) y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número desubregiones disminuirá la norma de la partición:

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un δ > 0 tal que

para toda partición Δ de la región T (que satisfaga | | Δ | | < δ), y para todas las elecciones posibles de (x1i,x2i,...,xni) en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:
Si f estádefinida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T está dada por:

Siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T.
Masa
La masa, en física, es la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo. La unidad de masa, en el Sistema Internacional de Unidades esel kilogramo (kg). Es una cantidad escalar y no debe confundirse con el peso, que es una fuerza.
Masa inercial
La masa inercial para la física clásica viene determinada por la Segunda y Tercera Ley de Newton. Dados dos cuerpos, A y B, con masas inerciales mA (conocida) y mB (que se desea determinar), en la hipótesis dice que las masas son constantes y que ambos cuerpos están aislados de otrasinfluencias físicas, de forma que la única fuerza presente sobre A es la que ejerce B, denominada FAB, y la única fuerza presente sobre B es la que ejerce A, denominada FBA, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton:

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donde aA y aB son las aceleraciones de A y B, respectivamente. Es necesario que estas aceleraciones no sean nulas, es decir, que las fuerzas entre los dos objetos no sean iguales acero. Una forma de lograrlo es, por ejemplo, hacer colisionar los dos cuerpos y efectuar las mediciones durante el choque.
La Tercera Ley de Newton afirma que las dos fuerzas son iguales y opuestas:
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Sustituyendo en las ecuaciones anteriores, se obtiene la masa de B como
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Así, el medir aA y aB permite determinar mB en relación con mA, que era lo buscado. El requisito de que aB sea distinto de...