Resumen De Toda La Trigonometria

DEFINICION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
El propósito será hallar todas las funciones trigonométricas basándonos en un triángulo rectángulo y en el sistema de coordenadas, sabiendo de ante mano que tenemos la hipotenusa que la representaremos con la letra “c”, el cateto opuesto con la letra “b” y el cateto adyacente con la letra “a”.
* En un triangulo Rectángulo:
Recuerda que untriángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo de 90 grados, donde el lado b se conoce como el lado opuesto de un ángulo , el lado a es el lado adyacente del ángulo y el lado c es la hipotenusa del ángulo . Y luego procedemos a aplicar la definición de las funciones trigonométricas como se ilustra a continuación:

* En un sistema de coordenadas:
Para el sistema de coordenadas utilizamos elmismo triangulo rectángulo pero esta vez localizamos el triángulo rectángulo en el Cuadrante I del sistema de coordenadas y utilizamos la definición de las seis funciones trigonométricas que implica los lados de un triángulo, como se ilustra a continuación:

Podemos apreciar que para encontrar las funciones trigonométricas en ambos casos prácticamente se realiza el mismo procedimiento y elresultado es el mismo.
IDENTIDADES BASICAS
La trigonometría como rama de las matemáticas realiza su estudio en la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría y sus aplicaciones. Para el desarrollo de este fin se definieron una serie de funciones que han sobrepasado su fin original, convirtiéndose en elementos matemáticos estudiados en símismos y con aplicaciones en los campos más diversos.
* Identidades Reciprocas: Son los inversos multiplicativos de las tres principales funciones trigonométricas que son el seno, coseno y tangente y también se las puede usar de forma viceversa como veremos a continuación:
El Seno y La Cosecante:

Por definición tenemos:
Por consiguiente si entonces:

El coseno yLa Secante:
Así pues si entonces tenemos:


La Tangente y La Cotangente:
Así pues si entonces tenemos:

Normalmente se emplean las relaciones trigonométricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un interés específico en hablar de ellos o las expresiones matemáticas se simplifiquen mucho, los términos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.* Identidades de Cociente: Estas identidades se deducen a partir de las definiciones mediante razones trigonométricas:

* Identidades Pitagoricas: Como su nombre lo indica estas identidades se deducen de la aplicación del Teorema de Pitágoras con un ángulo θ en posición normal inscrito en una circunferencia unitaria.

Del triángulo rectángulo OAB de la figura entonces tenemos porPitágoras que x² + y² = r²; por definición tenemos que Senθ = y, y Cosθ = x; por lo tanto:

Del triángulo OCD tenemos: donde OC corresponde a la línea trigonométrica que representa Secθ, CD corresponde a la línea trigonométrica que representa tgθ y OD = 1. Para demostrar esta identidad partimos de la identidad anterior dividiendo todo para Cosθ.

Aplicamos nuevamente elteorema de pitagoras pero ahora en la siguiente grafica:

FUNCIONES DE VALORES PARTICULARES
Un triángulo equilátero queda dividido, mediante la altura, en dos triángulos rectángulos iguales cuyos ángulos miden 90º, 60º y 30º. Aplicando el teorema de Pitágoras se obtiene la altura en función del lado:

FUNCIONES DE ANGULOS NEGATIVOS
Un ángulo es un sistema de coordenadas rectangular. Unarotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj produce un ANGULO POSITIVO y una rotación en el sentido de las manecillas del reloj produce un ANGULO NEGATIVO. Bien la función del ángulo negativo es ver la diferencia que hay por debajo de la horizontal.


Y aplicando las funciones trigonométricas del ángulo (-α) tenemos lo siguiente:


Y de todas estas desigualdades podemos...