Resumen Procesamiento Digital De Señales Pds

Transformada de Fourier - Fourier Transform (FT)

Ω=2∙π∙f
X(f)=-∞∞x(t)e-j∙2∙π∙f∙tdt ↔ XΩ=-∞∞x(t)e-j∙Ω∙tdt
XΩ y X(f) son distintas!
x(t)=-∞∞X(f)ej∙2∙π∙f∙tdf=12π-∞∞X(Ω)ej∙Ω∙tdΩ

Teorema del tren de impulsos

k=-∞∞δ(t-k∙Ts) FT↔ Fsk=-∞∞δ(f-k∙Fs)Fs=1Ts
k=-∞∞δ(t-k∙Ts) FT↔ Ωsk=-∞∞δ(Ω-k∙Ωs)Ωs=2πTs

Series de Fourier

La señal x(t) es la misma que x(t) pero con periodo T0.

f0=1T0ck=1T0X(f0)=1T0-∞∞x(t)∙e-j∙2∙π∙f0∙t∙kdt=1T0-T02T02x(t)∙e-j∙2∙π∙f0∙t∙kdt
x(t)=k=-∞∞ck∙ej∙2∙π∙k∙f0∙t
O sino

Propiedad de proporción del Delta de Dirac

δa∙t=1aδt

Transformada de Tiempo Discreto de Fourier – Discrete Time Fourier Transform (DTFT)

X(ejω)=n=-∞∞x[n]∙e-j∙ω∙n X(ejω) es periódico siempre‼!
x[n]=12π∙-ππX(ejω)ej∙ω∙ndω
Respuesta en frecuencia real del sistema:Xf=Xejωω=2πffs-Fs2<f<Fs20caso contrario
Transformada Discreta de Fourier – Discrete Fourier Transform (DFT)

X[k]=n=0N-1x[n]∙WNk∙n, WN=e-j2πN
X[k]=n=0N-1x[n]∙e-j2πknN
x[n]=1Nk=0N-1X[k]∙ej2πknN
Relación entre la DTFT y DFT

Se debe obtener X(ejω) de un x[n] ventaneado! (multiplicado por un rectángulo de longitud N).
Es decir, x[n] debe tener la forma
x[n]=x[n]0≤n≤N-10caso contrarioX(ejω)=n=-∞∞x[n]∙e-j∙ω∙n=n=0N-1x[n]∙e-j∙ω∙n=n=0N-1x[n]∙e-j∙ω∙n
X[k]=X(ejω)ω=2πkN

Y de ésta manera se obtiene X[k], que es la DFT de N puntos de x[n].

Muestreo de una señal continua

x[n]=xc(n∙Ts), -∞<n<∞, Ts>0

Donde Ts es el periodo de sampleo, y Fs la frecuencia de muestreo
Ts=1Fs

Frecuencia de Nyquist
Si se está muestreando a Fs, la frecuencia de Nyquist es Fs2, porque si esigual o mayor a esta se produce el efecto aliasing. En la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) el valor se alcanza la frecuencia de Nyquist para un valor de ω=π que corresponde a Fs2.

Muestreador o conversor de continua a discreto
Se van a muestrear valores de xc(t) cada un periodo Ts en donde

xn=xc(n∙Ts)

Conversor discreto a pulsos modulados
Este conversor toma la señalmuestreada y las saca en impulsos espaciados en un periodo Ts , es decir
xc(t)=k=-∞∞δ(t-k∙Ts)xc(k)
Filtro pasabajos ideal para convertir pulsos modulados a señal continua

Suponiendo una frecuencia de muestreo mayor al doble de la frecuencia máxima f de la señal a muestrear, en donde la señal xc(t) en pulsos modulados es xc(t)=x(t)∙p(t) donde p(t) es un tren de impulsos espaciados en un periodoTs. Si H(f) es un pasabajos ideal con frecuencia de corte fc y altura Ts la salida yc(t) va a ser
yc(t)=xc(t)*h(t)=x(t)∙pt*h(t)
yc(t)=x(t)∙k=-∞∞δt-k∙Ts*Ts∙2∙fc∙sinc2∙fc∙t
Donde
k=-∞∞δt-k∙Ts*Ts∙2∙fc∙sinc2∙fc∙t=1si f<fc<Fs-f0si fc<f<Fs2(indeseado)demás casos
Por ende
yc(t)=x(t)si f<fc<Fs-f0si fc<f<Fs2(indeseado)demás casosf:frecuencia de señal analógicafc:frecuencia decorte del filtroFs:muestreo de pulsos modulados

Mantenedor de orden cero (Zero-Order Hold)

Forma una señal continua x0(t) de escalones modulados en base a xs(t) que es una señal de pulsos modulados.
La respuesta impulsiva del sistema es h0(t)=1,0, 0<t<Tcc.
Y la total es
x0(t)=h0(t)*n=-∞∞xs(nT)=h0(t)*n=-∞∞xa(nT)δ(t-nT)
Transformada Z
X(z)=n=-∞∞x[n]∙z-n

x[n]=12πjC X(z)zn-1dzDonde C encierra el origen y toda la ROC region of convergence.Si se quiere que la ROC sea causal C debe encerrar todos los polos.

* Secuencia exponencial hacia la derecha

Si se tiene la función
x[n]=an∙un
Por el solo hecho de no tener valores nulos para n≥0 se dice que es hacia la derecha. Su transformada es
X(z)=n=-∞∞an∙u[n]∙z-n=n=0∞an∙z-n=n=0∞a∙z-1n=11-a∙z-1=zz-a ,si z>a

*Secuencia exponencial hacia la izquierda

Si se tiene la función
x[n]=-an∙u-n+1=-an∙u-n-1

Por el solo hecho de no tener valores nulos para n<0 se dice que es hacia la izquierda. Su transformada es
Xz=-n=-∞∞an∙u-n-1∙z-n=-n=-∞-1an∙z-n=-n=1∞a-n∙zn=-n=1∞a-1∙zn
=1-n=0∞a-1∙zn=1-11-a-1∙z=-a-1∙z1-a-1∙z=11-a∙z-1=zz-a,si z<a

* Suma de dos exponenciales

Considerando una...