Reticulos

Reticulo:

Es un conjunto parcialmente ordenado (L, ≤ ) en el que cada subconjunto {a, b}de 2 elementos de L, tiene supremo e ínfimo.

Supremo de {a, b} ® a Ú b
Ínfimo de {a, b} ® a Ù b
Ejemplo: L = P(S) el conjunto potencia de S
S={1,2,3} P(S) ={Ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}

Y el conjunto parcialmente ordenado (L, Ì)

{1} Ú {3} = {1,3}
{1} Ù {3} = Ø{1,2} Ú {1,3} = {1,2,3}
{1,2} Ù {1,3} = {1}
{1,2} Ú {3} = {1,2,3}
{1,2} Ù {3} = Ø

En general, para cada par A y B:
A Ú B = A È B Î L
A Ù B = A Ç B Î L

Entonces: (L, Ì) es un retículo

Teoremas sobre Retículos

Teorema 1: Sea (L, ≤) un retículo, y sean a, b, elementos de L Þ:
(a Ú b) = b Û a ≤ b
(a Ù b) = a Û a ≤ b
(a Ú b) = b Û (a Ù b) = a

Teorema2: Sea (L, ≤) un retículo, y sean a, b, c, elementos de L Þ:
Idempotencia: a Ú a = a y a Ù a = a
Conmutativa: a Ú b = b Ú a y a Ù b = b Ù a
Asociativa: aÚ(bÚ c) = (aÚ b)Ú c y aÙ(bÙc) = (aÙb)Ùc
Absorción: aÚ(aÙb)=a y aÙ(aÚb)= a

Teorema 3: Sea (L, ≤) un retículo, y sean a, b, c, elementos de L Þ:
Si a ≤ b Þ a Ú c ≤ b Ú c y a Ù c ≤ b Ù c
a ≤ c y b ≤c Û a Ú b ≤ c
c ≤ a y c ≤ b Û c ≤ a Ù b
Si a ≤ b y c ≤ d Þ a Ú c ≤ b Ú d y a Ù c ≤ b Ù d

Retículos

RETÍCULO ACOTADO:
Cuando tiene un elemento máximo I y un elemento mínimo O

ELEMENTO COMPLEMENTO:
Siendo L un retículo acotado y a Î L
Un elemento a’ Î L es el complemento de a si:
a Ú a’ = I y a Ù a’ = O

RETÍCULOSCOMPLEMENTADOS:

Un retículo L es complementado, si es acotado y cada elemento de L tienecomplemento.
Teorema: Si L es un retículo acotado, y a Î L, entonces:
O ≤ a ≤ I
a Ú O = a y a Ù I = a
a Ú I = I y a Ù O = O

Teorema: Si L es un retículo finito, entonces es acotado.

Retículo Booleano

Un retículo L es booleano si es complementado, distributivo y tiene almenos 2elementos

Teorema: Todo retículo booleano finito es isomorfo con el retículo (P(S),) para algún conjunto S.
Luego, todo retículo booleano finito tiene 2n elementos (n≥ 1)

Teorema: Sea L un retículo booleano, y sean a y b elementos de L,entonces:
(a’)’ = a Involución
(a  b) ’ = a’  b’ y (a  b) ’ = a’  b’ Leyes de Morgan

Teorema: Sea n = p1r1 p2r2 p3r3 ...pkrk , donde p1, p2, p3,.., pk son númerosprimos distintos, y r1, r2, r3,.., rk son enteros positivos, entonces:
El retículo ( Dn, | ) es booleano, si y solo si: r1 = r2 = r3 =... = rk = 1

Teorema: Dados los retículos booleanos (L1, ≤1) y (L2, ≤2), entonces
(L1x L2 , ≤ ) el orden parcial producto, también es un retículo booleano.

1. Propiedades de los retículos:.
Todo retículo completoL es acotado, con
• y
•
Todo retículo finito, no vacío L es completo, por lo que también es acotado.
En un retículo distributivo y acotado, el complemento de un elemento a es único si existe, lo que suele denotarse como ac (particularmente en el caso de retículos de subconjuntos) o bien ¬a (particularmente en aplicaciones de lógica).
• Demostración: Sean b y c complementos de a,queremos mostrar que b =c. Ahora se cumple que b = b 1 = b (a c) = (b a ) (b c) = b c. Análogamente se muestra que c = b c, por lo que b =c.
Sin embargo, si el retículo no es distributivo, pueden existir diversos complementos; va un ejemplo más adelante.
En un retículo distributivo acotado se verifica
• ¬0 = 1, ¬1 = 0.
Si a tiene un complemento ¬a, entonces también ¬a tiene uncomplemento, que es:
• ¬(¬a) = a.
Se llama retículo a un conjunto R, entre cuyos elementos se han definido dos operaciones, llamadas Unión eIntersección, y representadas por los símbolos  y respectivamente, tales que si A y B son dos elementos arbitrarios de R, A  B y A  B existen, son únicos y pertenecen a R y además verifican las siguientes propiedades:
1. Asociatividad. Para tres elementos...