rk93

Universidad de Los Andes
Facultad de Ciencias
´
Departamento de Matematicas
´
Grupo de Ciencias de la Computacion

Soluci´n Num´rica de Problemas de Valor de Frontera
o
e
para Ecuaciones Diferenciales Ordinarias1

Br. Luis Jos´ Berbes´ Marquez
e
ı ´
Trabajo Especial de Grado
Para Optar al T´
ıtulo de
´
Licenciado en Matematicas.
´
Tutor: Dr. Giovanni Calderon.M´rida-Venezuela
e
2010
1

Este trabajo fue parcialmente financiado por Consejo de Desarrollo Cient´
ıfico Human´
ıstico y Tecnol´gico, CDCHT o
ULA, bajo el proyecto C - 1687 - 10 - 02 - ED

RESUMEN
En muchas ´reas de las Ciencias B´sicas e Ingenier´ existen problemas donde es necesario encontrar
a
a
ıa
la soluci´n de una Ecuaci´n Diferencial Ordinaria. Este tipo de problema, representa en laactualidad,
o
o
uno de los temas b´sicos del An´lisis Num´rico. Un caso particular, el cual representar´ la base de este
a
a
e
a
trabajo, est´ dado por encontrar la aproximaci´n de la soluci´n de un Problema de Valor de Frontera
a
o
o
(PVF) de segundo orden, esto es, aproximar la soluci´n de la ecuaci´n diferencial ordinaria:
o
o

 y ′′ = f (x, y, y ′ ),
y(a) = α,

y(b) = β.En los ultimos a˜os, se han introducido en la literatura una variedad de m´todos num´ricos para resolver
´
n
e
e
este problema.
En este trabajo se estudian cinco m´todos para estimar la soluci´n del problema planteado. Estos
e
o
m´todos son: el m´todo del Disparo y Diferencias Finitas, considerados cl´sicos en la literatura puesto
e
e
a
que est´n presentes en la mayor´ de los textosde An´lisis Num´rico que abordan el problema propuesto,
a
ıa
a
e
el m´todo de los Elementos Finitos y Galerkin Discontinuo, los cuales parten de la teor´ de Espacios
e
ıa
Normados y del An´lisis Funcional, y el m´todo Bvp4c, un m´todo que usa la idea se superposici´n y el
a
e
e
o
mismo se encuentra implementado en Matlab.

´
Indice general

Introducci´n
o

III

1.Preliminares

1
O(hn )

1.1. Orden de aproximaci´n
o
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
´
1.2. Teor´ de Algebra Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa

1

1.3. Teor´ de Ecuaciones Diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa

2

1.4. Teor´ de An´lisis Funcional . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ıa
a

5

1.4.1. Los espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.4.2. El espacio euclidiano y el espacio unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4.3. Funcionales lineales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.4.4. Formasbilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4.5. El Teorema de Lax - Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5. M´todo de Newton Raphson y Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

9

2

2. M´todos Num´ricos para aproximar la soluci´n de un Problema de Valor de Frontera
e
eo
de segundo orden
11
2.1. M´todo del Disparo
e

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1.1. Planteamiento para el caso

y ′′

2.1.2. Planteamiento para el caso

y ′′

=

p(x)y ′

=

f (x, y, y ′ )

+ q(x)y + r(x) . . . . . . . . . . . . . . . .

11
12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2. M´todo deDiferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e

17

2.2.1. Planteamiento para el caso

y ′′

2.2.2. Planteamiento para el caso

y ′′

=

p(x)y ′

=

f (x, y, y ′ )

+ q(x)y + r(x) . . . . . . . . . . . . . . . .

17

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3. M´todo de Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . ....