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Ortogonal es un adjetivo que se emplea para nombrar a aquello que se encuentra en un ángulo de 90º. Se trata de una noción que, en el caso de los espacios euclídeos, es equivalente al concepto de perpendicularidad

Se habla de proyección ortogonal, por otra parte, para nombrar al resultado de dibujar la totalidad de las rectas proyectantes perpendiculares sobre un cierto plano. Al realizaresta proyección, se establece un vínculo entre los puntos del componente proyectante y los puntos del elemento proyectado.

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Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores e son ortogonales si el producto escalar de es cero. Esta situación sedenota . Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.
En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada productopor un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.
A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.
Ejemplos de espacios vectoriales
Los cuerpos
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
es un espaciovectorial de dimensión uno sobre .
Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.
es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre .
es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades

Definición. El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio conproducto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces

Propiedades


i. (v, v) ≥ 0
ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.
iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)
iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)
v. (u, v) = (v, u)
vi. (αu, v) = α(u, v)
vii. (u, αv) = α(u, v)
La barraen las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.

4.6 cambio de base, base ortonormal, proceso de ortonormalización Gram-Schmidt.

Cambio de base

El cambio de base consiste en conocidas las coordenadas de un vector respecto a una base B, encontrar las coordenadas de dicho vector con respecto a otra base B’.

TEOREMA 4.10 (La inversa de la matriz de transición).

Si P es lamatriz de transición de una base B a una base B’ en , entonces P es invertible y la matriz de transición de B’a B es .

TEOREMA 4.11 (Matriz de transición de una base B a una base B’).

Seanydos bases de Rn, entonces la matriz de transición P-1 de B a B’ puede determinarse mediante eliminación de Gauss – Jordan en la matriz como se muestra a continuación




En la matriz B’ representa lamatriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B’ respectivamente, de forma similar B representa la matriz que tiene por columnas las componentes de los vectores de la base B respectivamente.

Base ortonormal

En álgebra lineal, una base ortonormal de un espacio prehilbertiano V (es decir, un espacio vectorial con producto interno) o, en particular, de un espacio deHilbert H, es un conjunto de elementos cuyo span es denso en el espacio, en el que los elementos son mutuamente ortogonales y normales, es decir, de magnitud unitaria. Una base ortogonal satisface las mismas condiciones, salvo la de magnitud unitaria; es muy sencillo transformar una base ortogonal en una base ortonormal mediante el producto por un escalar apropiado y de hecho, esta es la forma...