Sdfghjkl

GUIA 8

Soluciones en series de potencias
El Teorema Fundamental de existencia y unicidad de soluciones permite definir una funci´n
o
x = x(t) como la unica soluci´n de un problema de valores iniciales. Un problema de valores
´
o
iniciales en el punto t = t0 consiste en una ecuaci´n diferencial de orden n
o
dn x
=f
dtn

t, x,

dx
dn−1 x
, . . . , n−1
dt
dt

junto con ncondiciones de la forma
x(t0 ) = x0 ,

dn−1 x
dx
(1)
(n−1)
(t0 ) = x0 , . . . ,
(t0 ) = x0
.
dt
dtn−1

Muchas de las llamadas funciones especiales, que aparecen en relaci´n con diversos problemas
o
tanto de la matem´tica pura como de la matem´tica aplicada, surgen de forma natural en
a
a
este contexto. Por ejemplo, las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y de Legendre
sonsoluciones de las respectivas ecuaciones:
d2 x
dx
+t
+ t2 − p2 x = 0,
2
dt
dt
dx
d2 x
− 2t
+ λ x = 0,
dt2
dt
2
dx
2 dx
1−t
− 2t
+ λ x = 0.
dt2
dt

ecuaci´n de Bessel: t2
o
ecuaci´n de Hermite:
o
ecuaci´n de Legendre:
o

Tambi´n las funciones del c´lculo elemental se pueden caracterizar en t´rminos de ecuae
a
e
t
ciones diferenciales. As´ la funci´n exponencial x =e es la unica soluci´n del problema de
ı,
o
´
o
valor inicial
dx
= x, x(0) = 1,
dt
mientras que la funci´n x = sen t puede verse como la soluci´n del problema de valor inicial
o
o
d2 x
+ x = 0,
dt2

x(0) = 0, x (0) = 1.

Se deja al lector la tarea de encontrar un problema de valores iniciales que determina a la
funci´n x = cos t.
o
Varias de las funciones especiales, entreellas las funciones de Bessel y los polinomios de
Hermite y Legendre mencionados antes, se obtienen como soluciones de ecuaciones lineales
homog´neas de segundo orden
e
d2 x
dx
+ a(t) + b(t) x = 0,
dt2
dt
cuyos coeficientes a(t) y b(t) son funciones racionales de t, esto es, son cocientes de polinomios
en t. En general no existen m´todos que permitan calcular las soluciones de estasecuaciones
e
1

en t´rminos de funciones elementales. Si en un problema de inter´s pr´ctico se requiere del
e
e
a
estudio de una de estas funciones soluci´n es necesario recurrir a otras t´cnicas.
o
e
El m´todo de las soluciones en series, utilizado por Newton en sus Philosophia Naturae
lis Principia Mathematica (1686), es uno de los m´todos m´s antiguos de la teor´ de las
e
a
ıaecuaciones diferenciales. Consiste en determinar los coeficientes c0 , c1 , c2 . . . de modo que la
funci´n
o
∞
x(t) = c0 + c1 (t − t0 ) + c2 (t − t0 )2 + · · · =

n=0

cn (t − t0 )n

(1)

sea soluci´n de una ecuaci´n dada, en un intervalo alrededor del punto t = t0 .
o
o
Ejemplo 1. Consideremos el problema de valor inicial
dx
= x, x(0) = 1.
dt
Si suponemos que la soluci´n buscada x =x(t) tiene una expansi´n en serie de potencias
o
o
alrededor del punto t0 = 0, entonces
∞

x(t) = c0 + c1 t + c2 t2 + . . . =

cn t n ,

(2)

n=0

para ciertos coeficientes c0 , c1 , c2 , . . .. Derivando t´rmino a t´rmino se obtiene la expansi´n
e
e
o
para la derivada
∞
dx
2
= c1 + 2c2 t + 3c3 t + . . . =
n cn tn−1 .
dt
n=1
Sustituyendo ahora en la ecuaci´n
o

dx
dt
2− x = 0 obtenemos

c1 + 2c2 t + 3c3 t + · · · − c0 + c1 t + c2 t2 + . . . = 0

Sumando t´rminos se concluye que
e

2

(c1 − c0 ) + (2c2 − c1 ) t + (3c3 − c2 ) t + . . . =

∞
n=0

((n + 1) cn+1 − cn ) tn = 0.

Teniendo en cuenta la unicidad de las expansiones en series de potencias, el coeficiente de
cada t´rmino tn en la serie anterior debe ser igual a 0; por lo tanto para todon = 0, 1, 2, . . .
e
se sigue que
(n + 1) cn+1 − cn = 0,

de donde se tiene una relaci´n de recurrencia para los coeficientes cn :
o
cn
, n = 0, 1, 2, . . . .
cn+1 =
n+1
−
En consecuancia cn = cnn 1 = ncn−21) = · · · = c0! . Reemplazando t = 0 en (2) se sigue que
(n−
n
1
x(0) = c0 de donde la condici´n inicial x(0) = 1 implica c0 = 1, de forma que cn = n! para
o
n = 0, 1, 2, ....