Serie De Potenicas

INTRODUCCION

Hemos visto anteriormente los criterios de convergencia para series de números reales positivos o alternados. Utilizando toda esta riqueza analítica vamos a ocuparnos de investigar el comportamiento de una serie de funciones, en particular, de potencias, cuya convergencia va a depender del valor de la variable x. Es así como podremos introducir el concepto de radio de convergenciaR. Dentro del intervalo (-R, R) la serie será convergente, fuera, divergente, y en los puntos de frontera, es decir, en x=-R e y=R, deberemos estudiar las series numéricas asociadas a estos dos puntos para determinar la convergencia o divergencia de la serie de potencias en ellos.

Este Mathblock también tiene una parte aplicada. En ella illustramos la utilidad de las series de potencias parael cálculo de la suma de series numéricas. Derivando o integrando una serie de potencias, cuya suma analítica conozcamos, podemos llegar a una expresión que, por substitución de la variable, corresponda a la serie numérica cuya suma buscamos. De esta forma podemos conseguir determinar la suma numérica indirectamente. Estas operaciones de derivación e integración sólo son posibles dentro del radiode convergencia de las serie de potencias. Aquí radica la importancia de determinar con exactitud el radio de convergencia.











CAPITULO I
MARCO TEORICO

1. Convergencia de Sucesiones y Series
Una sucesión infinita z1, z2, ..., zn, ... (1)


De números complejos tiene límite z si, para cada número positivo ε, existe unnúmero positivo n0 tal que: |zn - z| < ε si n > n0


Geométricamente, para n suficientemente grande, los puntos zn están en cualquier entorno dado ε de z.
y
.zn
.z3 ε
.z2 z


.z1 0x


La sucesión (1) puede tener, a lo sumo, un límite. Si existe, éste es único. Cuando existe, se dice que la sucesión converge a z, y escribimos
lím zn = z
n(∞


Si la sucesión no tiene límite, diverge.





Teorema 1

Supongamos que
zn = xn + i yn (n = 1, 2, ...)y z = x + i y


Entonces lím zn = z (2)
n(∞


si y sólo si
lím xn = x y lím yn = y (3)
n(∞ n(∞


Una serie infinita
∞
Σ zn = z1 + z2 + ... + zn + ... (4)n=1


de números complejos converge con suma S si la sucesión
N
SN = Σ zn = z1 + z2 + ... + zN (N = 1, 2,...)
n=1


de sumas parciales converge a S.
∞
Escribimos entonces Σ zn = S
n=1


Una serie puede tener, a lo sumo,una suma.
Cuando una serie no converge se dice que es divergente.





Teorema 2

Supongamos que
zn = xn + i yn (n = 1, 2, ...)


y
S = X + i Y


En tal caso
∞
Σ zn = S (5)
n=1
si ysólo si
∞ ∞
Σ xn = X y Σ yn = Y
n=1 n=1


Una condición necesaria para la convergencia de la serie (4) es que:


lím zn = 0
n(∞


Los términos de una serie convergente de números complejos son, por tanto, acotados. Más...