Serie furriel

MATEMÁTICA SUPERIOR

Práctica 7

PRODUCTO ESCALAR , NORMA Y DISTANCIA CUADRÁTICA,
SISTEMA TRIGONOMÉTRICO, SERIES DE FOURIER

Funciones como vectores

Definición. Denotamos por o más brevemente por el símbolo E el con-junto de las funciones con valores complejos, seccionalmente continuas en el intervalo

La suma de dos funciones de dicho conjunto es una función del mismoconjunto, del mismo modo que el producto de una función por una constante compleja. Más aún: el producto de dos funciones del conjunto pertenece también al conjunto.

En vista de lo anterior, el conjunto E puede pensarse como un espacio vectorial en el que cada función f es un vector de infinitas componentes: el número se interpreta como la “x-componente” de f.

Las operaciones desuma vectorial y producto de un vector por un escalar son:


Es decir: la x-componente de la suma es la suma de las x-componentes; la x-componente del producto cf es el producto de c por la x-componente de f.

Se consideran idénticas dos funciones cuyos valores coincidan en cada punto del intervalo, con la posible excepción de un conjunto finito.

1. En el espacio vectorialse define el producto escalar de dos vectores
f y g por medio de fórmula:

La norma cuadrática del vector f es, por definición, el número real no negativo:

a) Verificar las propiedades del producto escalar:
(1)
(2)
(3) si y sólo si (tener presente el convenio sobre identifi-
cación de funciones).b) Probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

2. Demostrar las propiedades de la norma cuadrática:
a)
b)
c) si y sólo si

3. Mostrar que la distancia cuadrática entre funciones:

goza de las siguientes propiedades:
a) (simetría)
b) (desigualdad triangular)
c)si y sólo si

Definición. Se dice que la sucesión de funciones converge en norma a la función f si la distancia tiende a cero cuando n tiende a infinito. En tal caso se escri-be: en norma.

4. Si la sucesión converge en norma a las funciones f y g, entonces En
otras palabras: el límite en norma, en caso de existir, es único.

Definición. Decimos que lasfunciones f y g son ortogonales si

5. Si f y g son ortogonales,

6. La norma satisface la identidad del paralelogramo:


Sistema trigonométrico (forma compleja)

7. a) Verificar que las funciones forman un
sistema ortonormal:
b) Si y entonces:
y
Las funciones forman el sistema trigonométrico en formaexponen-cial. Notemos que es la función constante igual a 1.

Coeficientes de Fourier y serie de Fourier de una función

Los números complejos


Se llaman coeficientes de Fourier de la función f. La serie:

es la serie de Fourier de f y se escribe:
~

Las sumas finitas:

son las sumas parciales de la serie.

8. Verificar la relación:

Definición.Denotamos por el subespacio de generado por los vectores

Es decir, el subespacio generado por el conjunto de vectores

9. a) Cada vector se escribe de un modo único en la forma

y en consecuencia,

b) Probar que es ortogonal a cualquier vector g de

c) Para cualquier g de se cumple:

Nota. La última relación muestra que entre todos losvectores de la suma parcial se encuentra a distancia mínima de f. Se demuestra que es el único vector de con esta propiedad. En ella se basa una aplicación frecuente llamada método de los cuadrados mínimos.

Aceptamos sin demostración los siguientes teoremas fundamentales:

Teorema 1. El sistema trigonométrico es completo; lo que significa que para cual-quier f del espacio se...