Series y sumatorias

Academia preuniversitaria
JR. ANAXIMANDRO VEGA N° 579 – CHOTA

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Prof. Alex Ortiz Gonzáles Series y Sumatorias
 Series: Serie Numérica Serie Aritmética  a1; a2; a3; a4;.....; an 1. Suma de los “n” primeros números naturales

 k  1  2  3  4  5  ...  n 
k 1

n

n  n  1 2

an  a1   n  1 r
 2a   n  1 r  Sn   1 n 2  
 2a   n  1r  Sn   n n 2  

2. Suma de los “n” primeros números naturales pares:

Aritmética

Lineal

 2k  2  4  6  8  ...  2n  n  n  1
k 1

n

3. Suma de los “n” primeros números naturales impares:

a  a  Sn   1 n  n  ac n  2 
a1
;

  2k  1  1  3  5  7  ...  2n  1  n
k 1
; ..... ;

n

2

a2 a

;

a3 b

;

a4 c

an

A

p
OrdenSuperior

q m

r m

s

4. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números naturales:

L

k
k 1

n

2

 12  22  32  42  ...  n2 

n  n  1 2n  1 6

Sn  a1C1n  pC2n  aC3n  mC4n

5. Suma de los cubos de los “n” primeros números naturales:

Tn  a1C0n1  pC1n1  aC2n1  mC3n1
Serie geométrica   a1; a2; a3; a4;.....; an

an  a1r n1
GeométricaLineal Suma límite:

Sn 

a1  r n  1 r 1

 n  n  1   13  23  33  43  ...  n3    k 1  2  6. Suma de los “n” primeros productos binarios:

k

n

2

3

O

 k  k  1  1 2  2  3  3 4  ...  n  n  1 
k 1

n

n  n  1 n  2  3

t S  t1  t2  t3  t4  ...  tn  1 1 r

7.- Suma de los “n” primeros productos ternarios:

 k  k  1k  2  1 2  3  2  3 4  3 4  5  ...  n  n  1 n  2 
n  n  1 n  2  n  3 4 8.- Suma de las inversas de los productos binarios: 
1 1 1 1 1 1 1     ...      a1.a2 a2 .a3 a3 .a4 an1.an r  a1 a2 
k 1

n

Donde:

0  r 1 ;

r  1;

r0
 Sumatorias: Sumas notables: Li G

9.- Suma de las inversas de los productos consecutivos de 2 en 2:
1 1 1 1 n   ...   1 2 2  3 3  4 n  n  1 n  1

4. Hallar la siguiente sumatoria: a) 200 d) 500 b) 625 e) 100

 2k  1
k 1

25

10.-Suma de los cuadrados de los “n” primeros números pares naturales.  2n  2n  1 2n  2 2 22  42  62  82  ...   2n   6 11.-Suma de los cuadrados de los “n” primeros números impares naturales.
6 12.- Suma de los cubos de los “n” primerosnúmeros pares naturales.
2  4  6  8  ...   2n   2 n  n  1  
3 3 3 3 3 2

c) 600

5. Hallar la siguiente sumatoria: a) 2800 d) 2870 6. Hallar la sumatoria: a) 4000 d) 536 7. Calcular: A) 3108 D) 3145
28

k
k 1

20

2

1  3  5  7  ...   2n  1
2 2 2 2

2

 2n  1 2n  2n  1 

b) 3600 e) 2800

c) 4600

k
k 1

11

3

b) 400 e) N.A

c) 435Sumatorias – Propiedades: q I)

a
k p

k

 N º de t ér min os  Q  p  1

 8k  5
k 1

II)


k a n k 1 n

n

c   n  a  1 c ; c: constante

B) 3256 E) 3801

C) 3101

III)

 c  n.c   at   a t
k a n k k a k m n k

8. Calcular: S  5  7  9  ...  43 A) 420 B) 480 C) 380 D) 240 E) 430 9. Hallar “n” A) 13
n n

IV)

 2x
k 1

n

2 1300
C) 14
2

B) 11

D) 12

E) 15

V)

  at

k

 bzk   a  tk  b  zk
k m k m

10. Calcular: A) 220 D) 240

 x
8 k 1

 x
C) 260

PROBLEMAS
1. Hallar a) 23

5n  2  5n  4  5n  6  ...   7n  151n
b) 26 c) 24 d) 22

“n”

en:

B) 230 E) 200

11. Hallar la mayor sumatoria I. III.

e) 25

x
k 1

29

II.

2y
y 1

222. Hallar la siguiente sumatoria. a) 210 d) 150 b) 200 e) N.A.

k
k 1

20

 7x
k 1

11

c) 100

3. Hallar la siguiente sumatoria: a) 200 d) 100 b) 300 e) 182

 2k
k 1

13

A) I B) II D) Todas son iguales E) No se sabe 12. Calcular el valor de:

C) III

c) 400

x 13

  4x
25

3

 5x2 

A) 373879 D) 339378 13. Hallar: A) 68858 D) 58865

B)...