serires de fuirer

Serie de Fourier
Lali Barri`re
e
Octubre 2011

1

Introducci´n
o
• Representamos una onda sonora por una funci´n del tiempo
o
t → s(t).
• Una funci´n es peri´dica, con periodo T si secumple
o
o
s(t) = s(t + T )
para cualquier valor de t, y la igualdad anterior no se cumple con valores m´s peque˜os de T .
a
n
Observaci´n Una funci´n peri´dica con periodo T cumple
o
o
o
s(t)= s(t + T ) = s(t + 2T ) = s(t + 3T ) = . . .
• Una sinusoide es una funci´n que se puede expresar como un seno, con una determinada amplitud,
o
frecuencia y fase:
s(t) = A · sin(ω · t + Φ)Observaci´n 1 En esta igualdad, A es la amplitud, ω es la frecuencia angular y Φ es la fase. La
o
ω
.
frecuencia en ciclos por segundo es f =
2π
1
Observaci´n 2 El periodo es T = . El periodotambi´n se llama longitud de onda.
o
e
f
Observaci´n 3 Las sinusoides son las funciones oscilatorias m´s simples.
o
a
Representaci´n gr´fica de una sinusoide: http://es.wikipedia.org/wiki/Sinusoide
oa
Ejemplo de longitud de onda: http://www.phys.unsw.edu.au/jw/fluteacoustics.html

2

Teorema de Fourier

Cualquier funci´n peri´dica, con periodo T , se puede representar como suma desinusoides de frecuencias f ,
o
o
1
2f , 3f ,. . . , llamadas arm´nicos. (La relaci´n entre el periodo y la frecuencia es f = .)
o
o
T
Observaci´n Los arm´nicos tambi´n se suelen llamar parciales.De hecho, los parciales son componentes
o
o
e
frecuenciales de una onda no necesariamente peri´dica. Por lo tanto, el t´rmino parcial es m´s general que
o
e
a
el t´rmino arm´nico.
e
o

12.1

Serie de Fourier trigonom´trica
e

Si s : R → R es una funci´n peri´dica con periodo T , la serie de Fourier de s es
o
o
s(t) ∼

a0
+
2

an cos
n≥1

2πnt
+
T

bn sin
n≥12πnt
T

con coeficientes
an =

2
T

T

s(t) cos
0

bn =

2πnt
dt
T

⇒ a0 =

T

2
T

s(t) sin
0

T

1
π

s(t) dt
0

2πnt
dt.
T

Estos coeficientes se pueden...