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Potenciación y radicación. Números reales

Matemáticas
Expresiones Numéricas: Potenciación y
radicación. Números reales.

Imagen en Wikimedia Commons de

Ad Meskens

bajo CC

1. Los números reales

Imagen en Flickr de Cea bajo CC

La división de la unidad en
partes iguales es físicamente
imposible, incluso cuando n es pequeño. Así, para poder señalar en una recta graduada elnúmero 0,33333... habría que hacer infinitas subdivisiones decimales. Se admite, no
obstante, que después de "todas" las subdivisiones podríamos poner una marca en el
punto correspondiente a 0,33333... que, en este caso, no es otro que el correspondiente a
como se puede apreciar en la siguiente figura.

Fuente propia realizada con geogebra bajo Dominio público

Una vez admitido que podemosmarcar en una recta graduada el punto correspondiente a
un número decimal infinito (con un número infinito de cifras decimales), cabría pensar ya
en decimales infinitos que no sean periódicos. Por ejemplo: 3,010010001... En este
número, en el que cada vez hay un "0" más entre los "1", no se repite ningún grupo de
cifras y por lo tanto el decimal no es periódico.
Cualquiera puede construirnúmeros de este tipo. Así:
4,91992999399949996...
5,1231123111231111231111123...
Pero estos números son fruto del capricho de quien escribe. ¿Habrá números decimales
infinitos y no periódicos que respondan a auténticas necesidades matemáticas?

1.1. Los números irracionales
Como has visto ya en el tema 1, el hombre inventó en primer lugar los números naturales
para contar. Más tarde tuvonecesidad de medir e inventó los números decimales y las
fracciones. Se sabe que los babilonios conocían ya estos tipos de números. Y la verdad es
que en la práctica diaria, estos números resuelven todos los problemas de medidas.
Construyamos, por ejemplo, un
triángulo rectángulo como el de la
figura y supongamos que los
catetos miden 1 metro cada uno.
Si nos disponemos a medir con una
cintamétrica
la
hipotenusa,
llegaremos al resultado:
Como las cintas métricas están
graduadas hasta los milímetros,
hemos
conseguido
una
aproximación de la medida hasta
esta unidad. Con otro aparato de
medida más exacto hubiéramos
podido aproximarnos más a la
medida exacta.
Ahora bien, podemos plantearnos
la siguiente pregunta, ¿es la
Fuente propia realizada con geogebra bajo Dominiopúblico
medida exacta de la hipotenusa un
decimal finito? Podría parecer en
principio que, efectivamente, esto es así. Pero veámoslo ahora desde un punto de vista
más fino, haciendo uso de las propiedades geométricas del triángulo de la figura:
Utilizando el Teorema de Pitágoras, llegamos a la conclusión de que:
es decir,
Hemos conseguido, de esta forma, saber que la hipotenusa mide una longitudque
elevada al cuadrado da 2. A ese número
solemos llamarlo "raíz cuadrada de 2" y lo
designamos con el símbolo
.
Pero
no es más que un símbolo para denotar un número decimal. Hay varios
procedimientos para hallar los decimales de este número. Todos ellos nos proporcionan un
número decimal infinito. Con una calculadora de bolsillo obtenemos:

Ponemos puntos suspensivos para indicar quehay más cifras decimales que no escribimos.
De hecho si queremos construir algo de medida
nos sobra con las cifras decimales que
hemos escrito. Así pues, como primera conclusión:
es un decimal infinito.
Podemos avanzar un poco más en nuestro estudio. Hasta ahora los decimales infinitos que
conocemos son los decimales infinitos periódicos que, como ya sabemos, son en realidad
númerosracionales o fracciones. Así surge de manera natural la pregunta:
¿Es

un decimal infinito periódico?

Si así fuera, el número raíz de 2, a pesar de su extraña apariencia, no sería más que un
número racional; algo ya conocido. Precisamente eso creyeron los griegos durante algún
tiempo. Pero no es así; probaron que
no es una fracción ni, naturalmente, un decimal
infinito periódico. Así...