SIGUIEHNTE

LA DERIVADA
La derivada es uno de los conceptos más importante en matemática. La derivada es el resultado de un
límite y representa la pendiente de la recta tangente a la grafica de la función en un punto.
La definición de la derivada es la siguiente:

TABLA DE DERIVADAS
FUNCIÓN

DERIVADA

Sea: F(X); G(X); Y(X); U(X); V(X);

Sea: F’(X); G’(X); Y’(X);U’(X);V’(X);

PROPIEDADES ÓCARACTERÍSTICAS É TEOREMA DE LA DERIVADA
FUNCIÓN
DERIVADA
Y(X)= C
Y’(X)= 0
Y(X)= X
Y’(X)= 1
Y(X)= Xn
Y’(X)= nXn-1
Y(X)= C . F(X)
Y’(X)= C . F’(X)
Y(X)= U(X) V(X)
Y’(X)= U’(X) V’(X)
Y(X)= U(X) V(X)
Y’(X)= U’(X) V(X) V’(X) U’(X)
Y(X)=

Y’(X)=
FUNCIONES POTENCIALES
FUNCIÓN

DERIVADA
Y’(X)=

Y(X)=
Y(X)= Un(X)

Y’(X)= nUn-1 . U’
FUNCIONES EXPONENCIALES
FUNCIÓN

Y(X)=
Y(X)=DERIVADA
Y’(X)=

. U’

Y’(X)=
U’ Ln(α)
FUNCIONES LOGARÍTMICAS

FUNCIÓN

DERIVADA

Y(X)= Ln(u)
Y(X)=

Y’(X)=

Log U

Y’(X)=

U'
U . Ln

Ejercicios

Y(X)=

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (CIRCULAR)
FUNCIÓN
DERIVADA
Y’(X)= U’ .

Y(X)=

Y’(X)= - U’ .

Y(X)=

Y’(X)= U’ . Sec2(U)

Y(X)=

Y’(X)= U’ . -

Y(X)=

Y’(X)= U’ .

Y(X)=

Y’(X)= U’ . -Csc2(U)(1+Ctg2(u)) . U’
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (CICLOMETRICAS O INVERSAS)
FUNCIÓN
DERIVADA

Y(X)=
Y(X)=
Y(X)=

(1+Tg2(u)) . U’

Y’(X)=
Y’(X)=
Y’(X)=

Y(X)=

Y’(X)=

Y(X)=

Y’(X)=

Y(X)=

Y’(X)=

Ejercicio nº 1.- Calcula f '(2), utilizando la definición de derivada, siendo:
f (x) = 2x2 + 5x
Solución:

. U’
U’

f (2  h)  f (2)
2 (2  h)2  5 (2  h)  18
2 (4  4h  h2 )  10  5h  18
 lím
 lím

h0
h0
h
h
h

f ' 2  lím
h0

 lím
h 0

8  8h  2h 2  10  5h  18
2h 2  13h
h(2h  13)
 lím
 lím
 lím (2h  13)  13
h 0
h 0
h 0
h
h
h

Ejercicio nº 2.- Halla la ecuación de la recta tangente a la curva f (x) = 2x2 - 3x + 1, que es
paralela a la recta 2x + 3y - 1 = 0.
Solución:

 Si es paralelaa la recta 2 x  3 y 1  0  y 
f ' x   4 x  3 

2 x  1
2
, tendrá la misma pendiente y ' 
:
3
3

2
7
7
 4x 
 x
3
3
12

 7  5
f  
 12  72

Ordenada en el punto:

y

Ecuación de la recta tangente:

5 2 
7 
2
23
 x 
x
  y
72 3 
12 
3
72

Ejercicio nº 3.- Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f (x) = 4x3 - 2x + 1 que
sonparalelas a la recta y = 10x + 2.
Solución:
Si son paralelas a la recta y = 10x + 2, tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser:
 x  1
f ' x   12x 2  2  10  12x 2  12  x 2  1  
x  1

f '(x) = 10

Ordenadas en los puntos:

f (-1) = -1; f (1) = 3

Ecuaciones de las rectas tangentes:
- En x = -1

y = -1 + 10 (x + 1)

- En x = 1

y = 3 + 10 (x - 1)

y = 10x + 9y = 10x – 7

Ejercicio nº 4.Obtén la ecuaciónde la recta tangente a la curv a y 

eje de abscisas.
Solución:

Punto de corte con el eje X:

x 2
en el punto de corte con el
x 1

y 0 

x 2
 x  2  0  x  2  Punto 2, 0 
x 1

Pendiente de la recta:
y' 

x  1 ( x  2) x  1 x  2
3


( x  1)2
( x  1)2
( x  1)2
y

Ecuación de la recta tangente es:entonces

y ' 2  

3 1

9 3

1
x  2   y  1 x  2
3
3
3

COMPRUEBE SI LAS SIGUIENTES DERIVADAS ESTAN
RESUELTAS DE MANERA CORRECTA.

a) f ( x )  ( x 3  3 x ) e

x

 f ( x )  e

b) f ( x )  cos3 x  f ( x )  

x

 2
x 3  3x 
3x  3 


2 x 






3 cos2 x · sen x
2
x

 ex 
x 2  2x  1
  f ( x ) 
c) f ( x )  ln  2
x  1
x2 1


1
 x  1
d) f ( x )  arctg 
  f ( x )  2
x 1
 x  1

e) f ( x )  sen x   f ( x )  ln (sen x )  x cotg x  (sen x ) x
x

f) f ( x )  5 cos ln (3 x )  f ( x ) 

1
cos (ln (3x ))4 / 5 · sen ln (3x )
5x

Resolver las siguientes derivadas. Escribir la fórmula(S)
al frente de cada ejercicio.
1.

2.

3.

4.

5.

6....