Simetria

Simetría
Siempre se ha considerado la simetría como un tipo de accidente en la geometría. En otros aspectos como la biología, la simetría forma parte de la evolución, tener dos ojos ubicados simétricamente es mucho menos costoso que tenerlos asimétricos, cuerpos como las estrellas de mar presentan una disposición de sus brazos que parecen tener más sentido estético, sin embargo hay razones queindican que la forma simétrica de la estrella de mar tiene sentido en cuanto a la recolección de sus alimentos de manera más simple y la forma más simple de disponer cinco puntos es la forma pentagonal, ya que es simplemente una repetición cinco veces una distancia.
Siguiendo lo que en ellos es una costumbre, los matemáticos se pusieron a darle vuelta de campana a todo y empezaron a considerar quela geometría, o más bien dicho, las geometrías, eran una consecuencia de la geometría.
Felix Klein, un matemático alemán, fue el que convirtió las simetrías en algo fundamental y a las geometrías en algo secundario. Como buen alemán, Klein quiso poner orden en el caos de la geometría. Sin embargo, en vez de ponerse a catalogar todas las posibilidades, introdujo un nuevo elemento en la estructuramatemática. En 1872, en la Universidad de Erlangen, dio una clase magistral que ha pasado a la historia bajo el nombre de Programa de Erlangen. La esencia del programa de Klein consistía en afirmar que la geometría es teoría de grupos. Los grupos se forman a partir de las transformaciones que dejan invariables las nociones básicas de la geometría, pero esta relación se puede invertir, de formaque , según las palabras del alemán “las propiedades geometricas se caracterizan por su invariabilidad al ser sometidas a un grupo de transformaciones” cada tipo de geometría posee su propio grupo; sin embargo, dentro del marco de ese grupo, cada geometría se desarrolla siguiendo líneas análogas. La teoría de grupos proporciona ese terreno común que constituye la conexión entre las distintasgeometrías.
Por ejemplo, en la geometría euclideana las nociones básicas son las distancias y los ángulos. Las transformaciones que conservan las distancias y los ángulos son precisamente los movimientos rígidos. La idea de Klein consiste en invertir este argumento: tomar el grupo de movimientos rígidos como objeto básico y, a partir de ahí, deducir la geometría. Así, un concepto geométrico que sealegítimo en la geometría euclideana es algo que permanece invariable después de aplicarle un movimiento rígido. Un concepto de este tipo es por ejemplo el triángulo rectángulo , sin embargo el concepto horizontal no lo es, porque las líneas rectas se pueden inclinar al aplicarles movimientos rígidos. La obsesión de Euclides por los triángulos semejantes como método de demostración se vuelve asítransparente, ya que dos triángulos son semejantes cuando uno de ellos puede ser colocado sobre la parte superior del otro mediante un movimiento rígido.
En una de las variedades de geometrías no euclideanas, la geometría elíptica, las paralelas no existen en lo absoluto. En otra de las variedades, la geometría hiperbólica, las paralelas existen en haces infinitos. Cada tipo de geometría no euclideanatiene su propio grupo de movimientos rígidos: movimientos que conservan las distancias, según la particular idea de distancia que exista para esa geometría. Como ejemplo de estas geometrías se incluye una figura que muestra una litografía de Escher basada en la geometría hiperbólica. Aunque los ángeles y los demonios parecen encogerse a medida que se acercan al borde del círculo, esto es cierto solosegún la típica noción euclideana de distancia. En la noción de distancia vigente en la geometría hiperbólica, todos los ángeles y todos los demonios son idénticos, formando una especie de embaldosado deñ plano hiperbólico. Es evidente que este plano tiene mucha simetría.
El punto de vista de Klein ejerció una gran influencia, no solo porque unificaba la amplia gama de geometrías, sino...