SIMULACION

3.4 MÉTODOS PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS
La variabilidad de eventos y actividades se representa a través de funciones de densidad para fenómenos continuos, y mediante distribuciones de probabilidad para fenómenos de tipo discreto. La simulación de estos eventos o actividades se realiza con la ayuda de la generación de variables aleatorias.
Los principales métodos para generar las variablesaleatorias son:
Método de la transformada inversa.
Método de convolución.
Método de composición.
Método de la transformación directa.
Método de aceptación y rechazo.

3.4.1 Método de la transformada inversa.
El método de la transformada inversa puede utilizarse para simular variables aleatorias continuas, lo cual se logra mediante la función acumulada f_({x}) y la generación denúmeros pseudoaleatorios r.~ 1/(0,1). El método consiste en:
Definir la función de densidad F{x) que represente la variable a modelar.
Calcular la función acumulada F(x).
Despejar la variable aleatoria x y obtener la función acumulada inversa F(x)~'.
Generar las variables aleatorias x, sustituyendo valores con números pseudoaleatorios r_i~1/(0,1) en la función acumulada inversa.

El método dela transformada inversa también puede emplearse para simular variables aleatorias de tipo discreto, como en las distribuciones de Poisson, de Bernoulli, binomial, geométrica, discreta general, etc. La generación se lleva a cabo a través de la probabilidad acumulada P(x) y la generalización de números pseudoaleatorios r_i ~ U (0,1). El método consiste en:
Calcular todos los valores de ladistribución de probabilidad p(x).de la variable a modelar.
Calcular todos los valores de la distribución acumulada P{x).
Generar números pseudoaleatorios r_i~1/(0,1).
Comparar con el valor de P(x) y determinar qué valor de x corresponde a P(x).

Ejemplo 1:
En la figura 3.4.1.1 se muestra gráficamente la metodología para generar variables aleatorias continuas:










Por su parteen la figura 3.4.1.2 se muestra gráficamente la metodología para generar variables aleatorias discretas.



DISTRIBUCIÓN UNIFORME
A partir de la función de densidad de las variables aleatorias uniformes entre a y b.
f(x)= 1/(b-a) a ≤x ≤b
Se obtiene la función acumulada:
F(x)=∫_0^x▒〖1/(b-a) dx= 〗 (x-a)/(b-a) a≤x≤b
Igualando la función acumulada F(x) con el número pseudoaleatorior_i ~ U (0,1), y despejando x se obtiene:
X_i=a+(b-a) 〖F(x)〗_i
X_i=a+(b-a) r_i

Ejemplo 3.4.1.1
La temperatura de una estufa se comporta uniformemente dentro del rango de 95 a 100°C. Una lista de números pseudoaleatorios y la función de densidad f(t)= 1/(b-a), nos permiten modelar el comportamiento de la variable aleatoria que simula la temperatura de la estufa.
Procedimiento: b=100a=95
Medición r_i Temperatura °C
1 0.48 97.40
2 0.82 99.10
3 0.69 98.45
4 0.67 98.35
5 0.00 95
f(t)= 1/(b-a)

∫_a^x▒1/(b-a) dt

f(x)= 1/(b-a) ∫_a^x▒dt=├ 1/(b-a) t┤|_a^x

f(x)=(x-a)/(b-a)

x=f(x)(b-a)+a
Tabla 1. Simulación de las temperaturas de una estufa.

x_i= r_i (b-a)+a

x_i=5r_i+95

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
A partir de la función de densidad de lasvariables aleatorias exponenciales con media 1/λ,
f(x)=λe^(-λx) para x≥0

Se obtiene la función acumulada:
F(x)= ∫_0^x▒〖λe^(-λx) 〗 dx = 1-e^(-λx) para x≥ 0
Igualando la función acumulada F(x) con el número pseudoaleatorio r_i ~ U (0,1), y despejando x se obtiene:
x_i=-1/λ ln⁡〖(1-〖F(x)〗_i 〗)
x_i=-1/λ ln⁡〖(1-r_i 〗)

Ejemplo 3.4.1.2
Los datoshistóricos del tiempo de servicio en la caja de un banco se comportan de forma exponencial con media de 3 minutos/cliente. Una lista de números pseudoaleatorios r_i ~ U (0,1). y la ecuación generadora exponencial x_i= -3 ln⁡〖(1-r_i 〗) nos permiten simular el comportamiento de la variable aleatoria (vea la tabla 3.2).

Cliente r_i Tiempo de servicio(min)
1 0.64 3.06
2 0.83 5.31
3 0.03 0.09...