SISTEMAS DE ESPERA

Ejercicios Prueba Solemne 2
Profesor Ivan Derpich C.
Ayudantes Cristián Arredondo

1.- El proceso de envasado de cierto artículo está conformado por dos operaciones en serie.
La llegada de artículos sigue un Proceso de Poisson con tasa de 20 unidades/hora. Después de
la primera operación una unidad de control de calidad, revisa el proceso, de modo que si está
con falla se devuelve alinicio de la misma operación. Existe una probabilidad p1 = 0,2 de que
ocurra una falla en esta revisión.
Después de la segunda operación, nuevamente se revisa la operación, y si al artículo se le
encuentra una falla se devuelve al inicio de la segunda operación. Existe una probabilidad

p3 = 0,15 de encontrar una falla en esta segunda operación.

20 un/hr

Operación 1

Operación 2

p=0,15p=0,2

La Operación 1 corresponde a un sistema de espera M/M/c con un servidor y tasa de atención
µ = 30 un/hr.
La operación 2 corresponde a un sistema de espera M/M/c con dos servidores y cada servidor
atiende con tasa µ = 14 un/hr.
Se pide:
a) Tiempo medio total que demora un artículo en pasar por el proceso de
envasado.
b) Número de artículos en espera en todo el sistema.Desarrollo:
Definamos λ1 y λ 2 como los flujos netos a la salida de cada operación respectiva.
20 un/hr

Operación 1

λ1

Operación 2

λ2

p=0,15

p=0,2
Las ecuaciones correspondientes son:

λ1 = 20 + 0,2 * λ1 ⇒ 0,8 * λ1 = 20 ⇒ λ1 =

20
= 25 art/hr
0,8

0,8λ1 + 0,15λ 2 = λ 2 ⇒ 20 + 0,15λ 2 = λ 2 ⇒ 0,85λ 2 = 20 ⇒ λ 2 =
Operación 1:
Sistema equivalente : M/M/1 con λ1 = 25 art/hr y µ1= 30 art/hr

20
= 23,5 art/hr
0,85

P0 = 1 −

25
5 1
= 1− =
30
6 6
n

 25   1 
Pn =     ∀n > 0
 30   6 

 5
n
n
 1  25 
1 ∞ 5
 1 
6
L1 = ∑ nPn = ∑ n   =  ∑ n  =  
 6  n =0  6 
 6  1 − 5
n =0
n = 0  6  30 
6

1
  * 5 * 6 = 5 articulos
6
∞

∞

(

W1 =

L1

λ1

=

)

2


 5 
  1  6 =
 =  
2 
  6  1 
 6 


( )

5 1
= = 0,2 horas = 12 minutos
25 5

Operación 2:
Sistema equivalente : M/M/2 con λ 2 = 23,5 art/hr y µ 2 = 30 art/hr
2

n

3

23,5
 23,5 
 23,5 
 23,5 
P1 =
P0 ; P2 = 
 * 2 * P0 ; Pn = 2
 P0
 P0 ; P3 = 
14
 28 
 14 
 2 * 14 

P1 = 1,66 P0 ; P2 = 2,75 P0 ; P3 = 2(0,83) P0 ; Pn = 2(0,83) P0
3



∞

n
P0 = 1 + 1,66 + 2,75 + 2∑ (0,83) 

n =3
1 24 
4 3

A


∞

[

−1

= (5,41 + 2 A)

]

A = ∑ (0,83) − (0,83) + (0,83) + (0,83) =
n

n =0

0

n

1

2

1
1
− [1 + 0,83 + 0,6889] =
− [2,5189]
1 − 0,83
0,17

A = 5,88 − 2,5189 = 3,363

P0 = (5,14 + 2 * 3,363) = (11,86) = 0,0843
−1

∞

∞

n =0

−1

∞

n= 2

L2 = ∑ nP n = 1 * P1 + ∑n * 2 * (0,83) P0 = 1,66 * P0 + 2(0,0843)∑ n(0,83) =
n

n

n=2

∞

L2 = 1,66 * 0,0843 + 2 * 0,0843 * ∑ n(0,83) = 0,139 + 0,168 * B
n=2
14 4
2 3
n

B

∞

∞

[

]

B = ∑ n(0,83) = ∑ n(0,83) − 1 * (0,83) =
n=2

n

n =0

n

L2 = 0,139 + 0,168 * 28,72 = 4,96

n

0,83
0,83
0,83
=
=
= 28,72
2
2
(1 − 0,83) (0,17 ) 0,0289

W2 =

L2

λ2

=

4,96
=0,211 horas = 12,6 minutos
23,5

a) W = W1 + W2 = 12 + 12,6 = 24,6 minutos

Lq1 = L1 − LS 1 = 5 −

λ
25
= 5−
= 4,16 6 articulos
µ
30

∞

∞

∞

Lq 2 = ∑ (n − 2)Pn = ∑ nPn − 2∑ Pn =
n= 2
n=2
n= 2
1 3
2
13
2
C

D

∞

∞

∞

n=2

n =0

n=2

∞

C = ∑ nPn = ∑ nPn − [1 * P1 ] = ∑ n 2 P0 (0,83) = 2 * (0,0843) * ∑ n(0,83)
∞

n

n

n=2

C = 0,1686 * ∑ n *(0,83)
n=2
14 244
4
3
n

E

∞

∞

[

]

E = ∑ n * (0,83) = ∑ n * (0,83) − 1 * (0,83) =
n=2

n

n =0

n

1

∞

0,83
− 0,83 = 28,72
(1 − 0,83)2

C = 0,1686 * 28,72 = 4,842 ; D = ∑ Pn = 1 − P0 − P1 = 1 − 0,0843 − 0,139 = 0,775
n= 2

Lq 2 = 4,842 − 2 * 0,775 = 3,752
L = Lq1 + Lq 2 = 4,166 + 3,752 = 7,918 articulos

2.- Se tiene un sistema en dos niveles, en...