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Tema 8: Campos de fuerzas.

J. Bordes-DFT

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Ley de la gravitación de Newton. Energía potencial gravitatoria. Velocidad de escape. Intensidad de campo y superficies equipotenciales. Leyes de Kepler.

Bibliografía: Tipler, Capítulos 7 y 11; Rex, Capítulo 9

(J. Bordes-DFT)

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8.1.-Ley de la gravitación de Newton.

8.1.-Ley de lagravitación de Newton.
Ley de la Gravitación universal de Newton (empírica): Existe una fuerza de atracción entre todo par de partículas que es proporcional a sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. mA mB ˆAB r FAB = −G |rAB |2 ˆAB : vector unitario en la dirección de la recta que une A con B. r G: constante de la gravitación universal. Esta fuerza hace que el cuerpo B sea atraídopor el cuerpo A con una aceleración: aB = FAB mB → aB = −G mA ˆAB r |rAB |2

Unidades y valor de G: [G] = M −1 L3 T −2 ,
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G = 6,67 × 10−11 Kg−1 m2 /s2
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8.1.-Ley de la gravitación de Newton.

Aplicación: Atracción terrestre Fuerza y aceleración de la gravedad sobre una partícula de masa m situada en la superficie terrestre: F = −G MT mr 2 ˆ RT → g(RT ) = F MT = −G 2 ˆ r m RT

MT y RT : masa y radio de la Tierra. ˆ: vector unitario en la dirección que une la partícula y el centro de la r Tierra. En un punto a una distancia h sobre la superficie terrestre: g(h + RT ) = −G MT m ˆ r (RT + h)2

(La gravedad disminuye con la altura.)
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8.1.-Ley de la gravitación de Newton.Si h RT , el punto es cercano a la superficie, entonces podemos usar el desarrollo de Taylor de la función: 1 ≈ 1 − 2x , (1 + x )2 Tomando x =
h RT

x

1.

1, la aceleración es: MT m 1 ˆ r 2 RT (1 + h/RT )2 g(RT ) 1 − 2 h RT

g(h + RT ) = −G

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8.1.-Ley de la gravitación de Newton.

Fuerza de atracción terrestre y gravedad en elinterior de la Tierra: A una distancia r < RT sólo contribuye a la fuerza de gravedad la masa terrestre (M) contenida en una esfera de radio r (Como consecuencia de la dependencia con el cuadrado de la distancia es aplicable el Teorema de Gauss).

Si ρT es la densidad de la Tierra, la masa contenida en el interior de una esfera de radio r y la masa total de la Tierra son: M = 4 3 πr ρT , 3 MT =4 3 πR ρT 3 T

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8.1.-Ley de la gravitación de Newton.

La fuerza de atracción terrestre sobre una masa m y la gravedad en ese punto son: F (r ) = −G Mm ˆ r r2 M g(r ) = −G 2 ˆ −→ g(r ) = g(RT ) r r
r RT

r RT

(Disminuye linealmente con la razón

)

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8.1.-Ley de lagravitación de Newton.

Ejemplo 8.1: Caída de un objeto. • ¿Cuál es la aceleración en caída libre de un objeto desde una altura de 400km? MT = 5,98 × 1024 kg, RT = 6,77 × 106 m.

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8.2.-Energía potencial gravitatoria. Velocidad de escape.

8.2.-Energía potencial gravitatoria. Velocidad de escape.
• Función de energía potencialgravitatoria: dU = −F .dr Fg = −Fg ˆ: fuerza que ejerce la Tierra sor bre una masa m situada a una distancia r de su centro. dr = |dr | ˆ: desplazamiento genérico de esa r masa. Sustituyendo la fuerza: dU = G
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MT m |dr | (si |r | > RT ) |r |2
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8.2.-Energía potencial gravitatoria. Velocidad de escape.

Integrando entre dos puntos A y B situadosen |rA | y |rB , obtenemos la diferencia de energía potencial entre ambos puntos:
B A |rB |

dU = GMT m

|rA |

|dr | |r |2

U(rB ) − U(rA ) = G

MT m MT m −G |rA | |rB |

Tomando rA → ∞ como origen de potenciales Ur →∞ = 0 U(r ) = − G MT m |r |

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8.2.-Energía potencial gravitatoria. Velocidad de escape.

Algunas...