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 INTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA

CARRERA:
INGENIERIA EN GESTION EMPRESARIAL.
MATERIA:
CALCULO INTEGRAL.
TEMA: UNIDAD III
3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
3.1 AREAS
3.1.1 AREA BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCION
3.1.2 AREA ENTRE LAS GRAFICAS DE FUNCIONES3.2 LONGITUD DE CURVAS
3.3 CALCULO DE VOLUMENES DE SOLIDOS DE SOLIDOS DE REVOLUCION
3.4 CALCULO DE CENTROIDES
3.5 OTRAS APLICACIONES
DOCENTE:
ING. SANTIAGO MIRANDA RAYMUNDO.
EQUIPO: N° 7
NOLASCOMARROQUIN MARIA FLORINA.
SEMESTRE:
2 “A”


OMETEPEC, GRO.




3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
1. Cálculo de áreas planas

La integral definida es una generalización del proceso del cálculo de áreas. 
Ahora bien, el área de un recinto es siempre positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o 
nula. Por tanto, en la aplicación de la integral al cálculo de áreas, debetenerse en cuenta el signo de cada uno 
de los recintos limitados por el eje  OX , y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el área. 

2. Cálculo de volúmenes 

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región 
tridimensional llamada  sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce 
como eje derevolución. 

Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos. 
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje  OX o 
al eje  OY . Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución. 

2.1.  Volúmenes de revolución: El Método de los discos
Si giramos una región del plano alrededorde un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de 
ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a 
uno de los lados del rectángulo. El volumen de este disco de radio  R y de anchura ω es: 
Volumen del disco =  π ω R2

Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolucióngeneral, 
consideremos una función continua  f x( ) definida en el intervalo  [ ] a b , , cuya gráfica determina con las 
rectas  x a = ,  x b = ,  y = 0 , el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje  OX , obtenemos un sólido 
de revolución.

Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al 
realizado en la definición deintegral definida. 

2.2.  Volúmenes de revolución: El Método de las arandelas

El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluir sólidos de revolución con un agujero, 
reemplazando el disco representativo por una  arandela representativa. La arandela se obtiene girando un
rectángulo alrededor de un eje. Si  R y  r son los radios externos e internos de la arandela, y ω es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:
Volumen de la arandela  =   π ω ( ) R r

2.3. Volúmenes de revolución: Método de casquillos

En esta sección estudiamos un método alternativo para el cálculo de un volumen de un sólido de revolución, 
un método que emplea casquillos cilíndricos. 
Para introducir el método de capas, consideramos un rectángulo representativo, donde:

• ω = anchura del rectángulo (espesor). 
•  h = altura del rectángulo. 
•  p = distancia del centro del rectángulo al eje del giro (radio medio).











































3.1 AREA BAJO LA GRAFICA DE UNA FUNCION
Si f es una funcion  que asume valores tanto positivos como negativos sobre [a,b], entonces la integral definida :


no...