Solucionario

1

Integral de Ln (3 Lnx) dx/ (x lnx )
S [Ln(3*Lnx)/ (x*Lnx)] dx
S {[Ln3 + Ln(Lnx)]/ (x*Lnx)} dx U = Lnx = > dU = 1/x dx
S {[Ln3 + Ln(U)]/ (U)} dU
S {[Ln3/(U)} dU + S {Ln(U)]/(U)} dU
Ln3*Ln|U|+ S {Ln(U)]/(U)} dU Z = Ln(U) = > dZ = 1/U dZ
Ln3*Ln|Lnx| + S {Z} dZ
Ln3*Ln|Lnx| + Z^2/2 + C
Ln3*Ln|Lnx| + Ln^2(U)/2 + C
Ln3*Ln|Lnx| + Ln^2(Lnx)/2 + C

Integral de (x3-1) dx/(x3 + x)
(x3-1) /(x3+x) =

1 - [(x +1 )/(x3+x)]
Ahora x3 + x = x ( x2 + 1)
A/x + (Bx+C)/(x2+1) =
=( A x2 + A + B x2 + Cx )/[x ( x2 + 1)]
A = 1 ; C = 1 ; B = -1
1/x + (-x+1)/(x2+1)
int(1/x) = ln x
int(-x /x2+1) = -(1/2) ln (x2+1)
int (-1/x2+1) = - arc tg x
En total
x + ln x - (1/2) ln (x2+1) - arc tg x + K

Integral de (x3-3x+ 1) dx/(x)(x + 1)2
a ver, lo primero se divide:
(x3-3x+ 1) / (x3 + 2x^2 +x) = 1 + (- 2x2 - 4x + 1) / (x3 + 2x2 + x)
ahora se simplifica la división
(- 2x2 - 4x + 1) / x (x + 1)2 = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 1)2
- 2x2 - 4x + 1 = A (x + 1)2 + B x (x + 1) + C x
-2=A+B
-4 = 2A + B + C
1=A
A = 1; B = -3; C = -3

2

luego
∫ (x3- 3x+ 1) dx /(x)(x + 1)2 = ∫ 1 dx + ∫ dx / x - 3 ∫ dx / (x + 1) - 3 ∫ dx / (x + 1)^2 =
= x + ln x - 3 ln (x + 1) + 3 / (x + 1) + CLimite cuando x tiende a 0 de [raíz de (cos2x) -raíz de
(cos3x )] / (x2) R = 5/4
Mutliplicamos numerador y denominador por el conjugado del binomio del numerador,
es decir, multiplicamos la fraccion por
. _______ . ._______ . . . . _______ . . ______
(√cos (2x) +√cos (3x) ) / ( √cos (2x) +√cos (3x) )
. . . . _______ . .______ . . ._______ . ______
lím . √cos (2x) -√cos (3x) . √cos (2x)+√cos (3x)
x->0 _________________ •__________________ =
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .______ . . ._______
. . . . x² . . . . . . . . . . . . . .√cos (2x) +√cos (3x)
lím . .cos (2x) -cos (3x)
x->0 ______________________ =
. . . . . . . ______ . . ._______
. . . . x²( √cos (2x) +√cos (3x) )
Bueno ya conoces a nuestros amigos los infinitesimos equivalentes xD
1 -cos (2x) ≈ (2x)² /2
1-cos (2x) ≈ 2²x² /2
1 -cos (2x) ≈ 4x² /2
1 -cos (2x) ≈ 2x²
1 -2x² ≈ cos (2x)
1 -cos (3x) ≈ (3x)² /2
1 -cos (3x) ≈ 3²x² /2
1 -cos (3x) ≈ 9x² /2

3
1 -cos (3x) ≈ (9/2)x²
1 -(9/2)x² ≈ cos (3x)
Hacemos los respectivos reemplazos
lím . .1 -2x² -(1 -(9/2)x²)
x->0 ______________________ =
. . . . . . . _____ . . ________
. . . . x²( √1 -2x² +√1 -(9/2)x² )
lím . .1 -2x² -1 +(9/2)x²
x->0______________________ =
. . . . . . . _____ . . ________
. . . . x²( √1 -2x² +√1 -(9/2)x² )
lím . .(9/2)x² -(4/2)x²
x->0 ______________________ =
. . . . . . . _____ . . ________
. . . . x²( √1 -2x² +√1 -(9/2)x² )
lím . .(5/2)x²
x->0 ______________________ =
. . . . . . . _____ . . ________
. . . . x²( √1 -2x² +√1 -(9/2)x² )
Simplificamos x²
lím . .5/2
x->0 ____________________ =
.. . . . _____ . . ________
. . . . √1 -2x² +√1 -(9/2)x²
Ahora seguimos resolviendo por sustitucion directa
5/2
____________________ =
.______ . . ._________
√1 -2 •0² +√1 -(9/2)• 0²
5/2
______ =
._ . . _
√1 +√1

4
5/2
___ =
1 +1
5/2
___ =
2
5/4

Limite cuando x tiende a ¶ de (senx - cos2x + 1) / (x^2 ¶^2)
Puedes hacer sustitucion de variables, definiendo "u":
u = x -πDespejamos "x":
u +π = x Si x -> π
u -> π -π = 0 u -> 0
Dentro de la funcion sustituimos la "x" por u +π
sen (u +π) = -sen u
cos 2(u +π) = cos (2u +2π) = cos 2u
(u +π)² -π² = u² +2πu +π² -π² = u² +2πu = u(u +2π)
Ahora aplicamos el límite
lím . .-sen u -cos (2u) +1
u->0 _______________
. . . . u(u +2π)
Ahora usamos infinitesimos equivalentes cuando u -> 0
sen u ≈ u
1 -cos (2u) ≈ (2u)² /21 -cos(2u) ≈ 2²u² /2
1 -cos(2u) ≈ 4u² /2
1 -cos(2u) ≈ 2u²
Entonces reemplazamos
lím . .-u +2u²
u->0 _______ =
. . . . u(u +2π)

5
lím . .u(2u -1)
u->0 _______ =
. . . . u(u +2π)
lím . .2u -1
u->0 _____ =
. . . . u +2π
Por sustitucion directa
1
___
2π

6

Limite cuando x tiende a 0 de (x3 +2senx -sen2x ) /
(x2.sen x) R = 2
Separo en 2 fracciones la fraccion original:...