Solucionesmodelo12001

Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 1 de 2001
2

Se quiere dividir la región encerrada entre la parábola y = x y la recta y = 1 en dos
regiones de igual área mediante la recta y = a. Halla el valor de a

Solución
2

Como se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y = x (en rojo), y la
recta y = 1 (en verde) en dos regiones de igual área mediante la recta y = a (verfigura)

Para determinar el área limitada por dos funciones hemos de igualarlas para calcular sus
puntos de corte
2

2

2

2

De y = x e y = 1, tenemos x = 1 de donde x = ± 1
De y = x e y = a, tenemos x = a de donde x = ± a
Tenemos que igualar las áreas para determinar el valor de "a", es decir Área 1 = Área 2

Área 1 =

(1) dx -

-

(a) dx -

2

(x ) dx -

2

(x ) dx =

-

-

=

= 2 - 2a (a) + ( 2a(a))/3 - 2/3

Área 2 =

2

(a - x ) dx =

= 2a√(a) - ( 2a√(a))/3

Igualando las áreas tenemos 2 - 2a√(a)+ ( 2a√(a))/3 - 2/3 = 2a√(a) - ( 2a√(a))/3, y
operando nos resulta

1/2 = a√(a), de donde a =
0'6299.....

≈ 0'6299..., luego hay que dividirlo por la recta y =

Ejercicio nº 2 de la opción A del modelo 1 de 2001

Sea f la función definida para x ≠ 1 por f(x) =
(a) 1 punto Calcula las asíntotas dela gráfica de f
(b) 1 punto Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos
relativos de f.
(c) 0'5 puntos Esboza la gráfica de f

Solución
(a) Como

= + ∞ , x = 1 es una A.V. de f

=

=

=-∞

Tiene una A.O. y = mx + n porque es una cociente con el numerador de grado una unidad
más que el denominador, con

m=

=

=2n=

(f(x) - mx) =

=2

luego la A.O. es y = mx + n = 2x + 2.Se puede hacer rápidamente dividiendo numerador
entre denominador
2x

2

x-1
2

- 2x + 2x

2x+2

2x
b) Estudio de f'(x)

f'(x) =

=
2

f '(x) = 0; 2x - 4x = 0;
máximos o mínimos

x(2x - 4) = 0,

de donde x = 0 y x = 2 que serán los posibles

Hay que tener cuidado con x = 1, pues ahí no está definida la función
Como f '(-2) > 0, f crece en ( - ∞ , 0)
Como f '(0'5) < 0, f decrece en (0,1)
Pordefinición x = 0 es un máximo relativo con valor f(0) = 0
Como f '(1'5) < 0, f decrece en ( 1,2)
Como f '(3) > 0, f crece en (2,+ ∞ )

Por definición x = 2 es un mínimo relativo con valor f(2) = 8
Resumiendo
f(x) crece en ( - ∞ , 0)U(2, + ∞ ), decrece en (0, 1)U(1,2). Tendría un máximo relativo en x
= 0 con valor f(0) = 0, y un mínimo relativo en x = 2 con valor f(2) = 8.
En x = 1 no está definida ytiene una asíntota vertical
c) Su gráfica es ( en azul la asíntota oblicua)

Ejercicio nº 3 de la opción A del modelo 1 de 2001

[2'5 puntos] De las matrices A =

,B=

,C=

yD

=
determina cuáles tienen inversa y en los casos en que exista, calcula el
determinante de dichas matrices.

Solución
Para que una matriz tenga inversa ha de ser cuadrada y su determinante tiene que ser
distinto de cero, portanto descartamos la matriz B puesto que no es cuadrada
|A| = -2 ≠ 0 luego existe A
|C| = 0 luego no existe C

-1

-1

-1

|D| = 1 ≠ 0 luego existe D . En las matrices triangulares su determinante es el producto
de los elementos de la diagonal principal.
Sabemos que A A
los determinantes
|A A

-1

-1

-1

-1

| = |A| |A | = |I| = 1, por tanto |A | = 1/|A|, con lo cual

-1

|A | = 1/|A| = 1/(-2)-1

= I, por definición de matriz inversa. Además por las propiedades de

|A | = 1/|A| = 1/1 = 1

Ejercicio nº 4 de la opción A del modelo 1 de 2001
[2'5 puntos] Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de
coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es tangente a la recta
de ecuación x+y = 1

Solución
Como su centro está en el eje de abscisases de la forma C(a,0)

Como la circunferencia pasa por el origen su radio es r = d(C,O) = ||OC|| =

=a

Como la circunferencia es tangente a la recta y = - x + 1 resulta también que el radio es la

distancia desde el centro a dicha recta, es decir r = d(C, recta) =

=

Igualando las expresiones de los radios tenemos

2

= a. Elevando al cuadrado tenemos a =
- 1= 0. Resolviéndolo nos queda a = -...