Srita

CONCEPTUALIZACIÓN MODERNA
TABLA DE
DECREMENTOS MÚLTIPLES
(Continuación)
HIPÓTESIS RELATIVA A LATASA INSTANTÁNEA DE MORTALIDAD (5º parte)
Oscar Aranda M
UNAM, Fac. Ciencias
28 Septiembre, 2011
If you are out to describe the truth, leave elegance to the tailor.
. Albert Einstein

Los desarrollos presentados a mediados del siglo XIX por Antoine Augustin Cournot
y William Matthew Makeham,centran su estudio exclusivamente en el concepto de
mortalidad, producida por la causa (k) de decremento e independiente de otras causas,
sin embargo, tiempo después se observó que el modelo se puede ampliar para
proponer una teoría generalizada, donde al establecer varias causas de “salida” (k),
diferentes e independientes de un colectivo o grupo de personas, el concepto de
“muerte” sóloformará parte de una causa; estableciendo así el concepto de
“remoción” o “salida” de la persona de edad x dada la causa (k).
Por lo tanto, si referimos a lz(τ ) , como el grupo expuesto a (τ ) causas de decremento,
diferentes e independientes, “sin particularizar quienes ya están predestinados a la
causa k de decremento”, como sucedía en los desarrollos anteriores; es válido
entonces,considerar la expresión (L), al indicar la probabilidad de que la persona de
edad x, expuesto a (τ ) causas de decremento a cada t-ésimo de tiempo, éste sea
“removido” exclusivamente por la causa (k), en el periodo de n-años, es decir.
n

(k )

n

(
(
qx = ∫ t pxτ ) ⋅µ xk ) (t )dt
0

(k )

En particular, la función µ x (t ) es el punto de partida para graduar el efecto de
“salida” o“remoción”; al redefinir la expresión (XLVIII), con z = x + t , t ≥ 0 , se tiene
(
µ xk ) (t ) = −

1 d (k )
lx +t
lx +t dt
(τ )

(LI)

En virtud de que la única información disponible de la población en estudio es anual,
se establece la hipótesis que ésta, sigue una distribución uniforme de “salidas” o
(
“remociones” por cada causa (k), por lo tanto, la mejor aproximación para lxk )t ,
+∀ t ∈ [ 0,1] , se obtiene mediante interpolación lineal, donde,
(
(
(
lx +)t ≅ lx ) − t ⋅ d x
k

Oscar Aranda M

k

41

k)

(LII)
Fac. Ciencias UNAM

(
d xk ) , representa el número de “salidas” entre las edades (x) y (x+1) originado por la
causa (k) de decremento.

al sustituir la expresión (LII) en (LI)
(
µ xk )t = −
+

=−

(

1 d (k )
(k
lx − t ⋅ d x )
lx +tdt
(τ )

1
(τ )

lx +t

( −d ( ) )
k

(LIII)

x

(
dx )
;
(τ
lx +)t
k

=

)

∀ t ∈ [ 0,1]

e integrando con respecto al tiempo en el rango anual de estudio
(
dx )
∫ µ x+t dt = ∫ l (τ ) dt
0
0 x +t
1

1

(k )

k

(LIV)

(
(
Al considerar los mismos supuestos de la función lxk )t para la función lxτ+)t , se redefine
+
la expresión anterior, como
11

(k )
(k )
∫ µ x+t dt = d x ∫
0

l

1
dt
(
− t ⋅ d xτ )

(τ )

0x

considerando el cambio de variable

(
(
u = lx ) − t ⋅ d x
τ

τ)

(
y du = − d xτ ) dt , se obtiene
1

(k )
∫ µ x+t dt =
0

(
(
d xk ) − d xτ )
dt
(
(
−d xτ ) ∫ lxτ+)t
0

=−

1

(
d xk )  (τ ) 1
ln lx +t 
(
t =0
d xτ ) 

(
d xk )
(
= − (τ ) ln pxτ )
dx

(
dx )
(τ)  (τ )
d
k

= − ln  px 


Oscar Aranda M

(LV)

x

42

Fac. Ciencias UNAM

Al considerar en la expresión (XLIII), el cambio de variable z = x + t , con t ∈ [ 0,1] y
al sustituir en la expresión (XLIV)
(τ )

px

 1 (1)

(2
(m
= exp  − ∫ µ x +t + µ x +)t + ⋅⋅⋅ + µ x +t) dt 
0


(

)

1
1
 1 (1)

( 2)
(m
= exp  − ∫ µ x +t dt − ∫ µ x +t dt − ⋅⋅⋅− ∫ µ x +t) dt 
0
0
0


 1 (1)   1 ( 2) 
 1 ( m) 
= exp  − ∫ µ x +t dt   − ∫ µ x +t dt  + ⋅⋅⋅ +  − ∫ µ x +t dt 
0
 0

0


(LV.a)19

= p '(x ) ⋅ p '(x ) . p '(x ) ⋅⋅⋅ p '(x
1

2

m

m)

3

= Π p '(x )
k

k =1

Donde p '(xk ) , representa la probabilidad anual e independiente de “permanencia”
en el grupo para una persona de edad x, dada la...