Sumatorias

Semana 07[1/21]

Sumatorias

12 de abril de 2007

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Semana 07[2/21]

Progresiones aritméticas

Progresión aritmética
Es una sumatoria del tipo
n

(A + kd) es decir, donde ak = A + kd, para valores A, d ∈

Ê.
n

k =0

Utilizando las propiedades de sumatoria, obtenemos que esta suma es igual a
n

A·
k =0

1+d ·
k =0

k

Nos basta, entonces,calcular la sumatoria

n

k
k =0

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Semana 07[3/21]

Progresiones aritméticas

Para ello utilizaremos el método de Gauss: como la suma en
n

Ê es conmutativa, entonces

S=
k =0

k

puede ser calculado de las dos formas siguientes S = 0 + 1 + 2 + . . . + (n-1) + n S = n + (n-1) + (n-2) + . . . + 1 + 0 Si sumamos estas dos igualdades, obtenemos S =0+1 + 2 + . . . + (n − 1) + n S = n + (n − 1) + (n − 2) + . . . + 1 +0 2S = n + n + n +...+ n +n Como cada suma posee (n + 1) sumandos, obtenemos que S= n(n + 1) 2

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Semana 07[4/21]

Progresiones aritméticas
Propiedad
Si n ≥ 0,
n

k=
k =0

n(n + 1) 2

Demostración.
Por inducción sobre n ≥ 0. Caso n = 0: Hay que demostrar que
0

k=
k =0

0·1 2

locual es directo pues ambos lados valen 0. Supongamos que la fórmula vale para algún n ≥ 0. Entonces
n+1 n

k = (n + 1) +
k =0 k =0

k

n(n + 1) (Aquí aplicamos la hipótesis inductiva.) 2 (n2 + n) + 2(n + 1) = 2 2 n + 3n + 2 (n + 1)(n + 2) = = 2 2 = (n + 1) + con lo que completamos la demostración.
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Semana 07[5/21]

Progresiones aritméticas

Es importantenotar que
n n n

k =0+
k =0 k =1

k=
k =1

k

por lo que es irrelevante si la suma se considera desde k = 0 o desde k = 1. También, notemos que si 1 ≤ n1 ≤ n2 son números naturales, entonces
n2 n2 n1 −1

k=
k =n1 k =0

k−
k =0

k=

n2 (n2 + 1) (n1 − 1)n1 (n1 + n2 )(n2 − n1 + 1) − = 2 2 2

por lo que sabemos calcular esta suma entre cualquier par de números. Finalmente,volviendo a la progresión aritmética, podemos ahora dar su fórmula explícita:

Fórmula progesión aritmética
n

(A + kd) = A(n + 1) + d
k =0

n(n + 1) 2

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Semana 07[6/21]

Progresiones geométricas
Progresión geométrica
Es una sumatoria del tipo
n

Ar k es decir, donde ak = Ar k , para valores A, r ∈

Ê.

k =0

Supongamos que r = 1. El caso r = 1 es muysencillo, y queda como ejercicio para el lector. Similarmente a como procedimos antes, podemos decir que esta suma equivale a
n

A·
k =0

rk

por lo que basta calcular esta última sumatoria. Denotemos S=
k =0 n

rk

Se tiene entonces que
n

r ·S =
k =0

r k +1

por lo que
n

S−r ·S =
k =0

(r k − r k +1 )
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Semana 07[7/21]

Progresionesgeométricas

n

S−r ·S =
k =0

(r k − r k +1 )

Reconocemos en esta última igualdad una suma telescópica, la cual vale r 0 − r n+1 . Por lo tanto S(1 − r ) = 1 − r n+1 y gracias a que r = 1 se obtiene la fórmula

Propiedad
Si n ≥ 0 y r = 1,
n

rk =
k =0

1 − r n+1 1−r

Queda propuesto al lector demostrar por inducción esta propiedad. Nuevamente es posible calcular esta suma entrecualquier par de números. Si 1 ≤ n1 ≤ n2 , entonces
n2 n2 n1 −1

r =
k =n1 k =0

k

r −
k =0

k

rk =

r n1 − r n2 +1 1 − r n2 +1 1 − r n1 − = 1−r 1−r 1−r

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Semana 07[8/21]

Progresiones geométricas

Así, volviendo al caso de la progresión geométrica, obtenemos que ésta cumple la fórmula

Fórmula progresión geométrica
Si r = 1,
n

Ar k =
k =0A(1 − r n+1 ) 1−r

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Semana 07[9/21]

Algunas sumas importantes
Veamos a continuación algunas sumas importantes que podemos calcular usando lo conocido.

Propiedad
Si n ≥ 0,
n

k2 =
k =0

n(n + 1)(2n + 1) . 6

Demostración.
Queda propuesto como ejercicio, demostrar esta propiedad usando inducción. Aquí lo haremos directamente, notando que para...